Kans en maat

Ga naar: navigatie, zoeken
Johan quaegebeur.jpg

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Informatie over het examen

Dit vak wordt gegeven door Johan Quaegebeur. In zijn lessen integreert hij theorie en oefeningen.

Voor het examen (volledig mondeling, volledig open boek) krijg je ruim de tijd - lees: een uur of vijf, en als je langer wil werken, dan zal hij daar geen probleem van maken. In 2010-2011 stond er copyright op de vragen.

Examenvragen

januari 2019

Dit jaar werd het vak gegeven door Mateusz Wazilewski. Hij gebruikte dezelfde notas als JQ, maar had enkele kleine extra bundeltjes gegeven. Examen januari 2019 met oplossingen

september 2018

Het laatste jaar dat Q dit vak gaf. Als student kon je kiezen tussen twee versies van het vak om te studeren en deze hadden elk een eigen examen. Optie A: met Lp ruimtes en de centrale limietstelling, maar zonder borelmaten. Optie B: zonder Lp ruimtes en de centrale limietstelling, maar met borelmaten.

Examen september 2018

januari 2018

Het laatste jaar dat Q dit vak gaf. Als student kon je kiezen tussen twee versies van het vak om te studeren en deze hadden elk een eigen examen. Optie A: met Lp ruimtes en de centrale limietstelling, maar zonder borelmaten. Optie B: zonder Lp ruimtes en de centrale limietstelling, maar met borelmaten. Examen januari 2018

maandag 16/06/08

1) (ben niet 100% zeker of ik deze vraag volledig correct formuleer) Zij een maatruimte. Zij voor alle n en veronderstel dat als . Definieer nu . Bewijs dat een meetbare verzameling is en bewijs vervolgens dat .

2) Beschouw met de Borel sigma algebra. We definiëren

  • Berekenen S voor diracmaat in 0 en voor de Lebesguemaat
  • Toon aan dat in het algemeen geldt dat . Gebruik hiervoor (mag je aannemen) de inwendige regulariteit: . We vinden dat S de kleinste gesloten borelverzameling is, waarvan het complement maat nul heeft.
  • Toon aan dat er in het algemeen geen kleinste Borelverzameling bestaat zodat de maat van het complement 0 is (hierbij veronderstellen we dus niet dat de borelverzameling gesloten is!).
  • Definieer de stijgende rechtscontinue functie zodanig dat . Bewijs dat

3) Zij onderling onafhankelijke toevalsvariabelen. Toon aan dat ook onafhankelijk zijn.

4) een aantal vragen over absolute continuiteit en singulier zijn

5) een vraag over conditionele verwachting, waarbij een nieuw begrip geïntroduceerd werd: de conditionele variantie.

vrijdag 12/06/2009

  1. Zij een maatruimte die -eindig is. Zij integreerbaar en veronderstel dat geldt dat als E een eindige maat heeft. Wat kan je besluiten over f? Blijft je conclusie gelden voor een maatruimte die niet -eindig is?
  2. Zij U een halfring op een niet-lege verzameling en zij een maat op U. Zij de -algebra voortgebracht door U. Zij de maat op die bekomen wordt door Carathéodory toe te passen op . Veronderstel dat -invariant is, dit wil zeggen en . Is dan ook -invariant?
  3. Zij de verdelingsfunctie van een reële toevalsvariabele X. Gebruik Fubini (eigenlijk zijn stelling) om aan te tonen dat
  4. Toon 4.3.3.7 aan voor X en Y kwadratisch integreerbaar. Je mag daarvoor wel al 4.3.3.7 gebruiken voor X begrensd en Y integreerbaar.
  5. Zij met de Borel--algebra en zij P de genormaliseerde Lebesguemaat op [0,2]. Zij en zij X een integreerbare reële toevalsvariabele op [0,2]. Bereken .

donderdag 27/08/2009

  1. We bekijken de Borel--algebra en Lebesgue-maat op .
    1. Bewijs: voor elke . (Dit is de uitwendige regulariteit van .)
    2. Construeer bij wijze van illustratie voor een gegeven een open verzameling met en .
    3. Is elke Borelmaat (Lebesgue-Stieltjesmaat) op uitwendig regulier?
  2. Zij een rij van reële toevalsvariabelen op eenzelfde kansruimte . Veronderstel dat er een bestaat zodanig dat voor alle . Bereken .
  3. Zij een kansruimte die een rij van onafhankelijke gebeurtenissen bevat, met voor alle . Toon aan dat overaftelbaar is. (Hint: toon aan dat voor alle en .)
    1. Zijn en meetbare ruimten. Zij een element van de product--algebra . Zijn en , en definieer de twee secties en . Toon aan dat en .
    2. In de cursus werd aangetoond dat waarbij (voor ) de Borel--algebra van is. Geldt de analoge gelijkheid voor de Lebesgue--algebra's op ?
  4. We zeggen dat een rij van kansmaten op zwak convergeert naar de kansmaat op als voor elk element van de verzameling van begrensde, continue functies op geldt dat . We veronderstellen in deze opgave dat voor de verdelingsfuncties en geldt dat voor alle , de verzameling van punten waar continu is. Werk de volgende stappen in detail uit om te bewijzen dat zwak convergeert naar .
    1. Toon aan dat aan voldaan is als van de vorm is, met voor alle .
    2. Toon aan dat aan voldaan is voor alle elementen van , de verzameling van continue functies op met compacte drager, door de elementen van op een gepaste manier te benaderen door functies van de vorm . (Opgelet: subtiele technische details!)
    3. Toon tenslotte aan dat aan voldaan is voor alle elementen van . Doe dit door het te bewijzen te reduceren tot het geval waarbij . Kies dan willekeurig en toon aan dat er bestaan zodat . Benader door een functie die samenvalt met op en voldoet aan voor alle . Toon dan tenslotte aan dat er een bestaat zodat voor geldt dat . Leun daarna voldaan achterover.