Inleiding tot de Hogere Wiskunde

Ga naar: navigatie, zoeken
Prof. Rony Keppens
Prof. Stefaan Poedts

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Algemene info

Vanaf 2009-2010 wordt dit vak niet meer gegeven. Voor de wiskundigen en de fysici is er Calculus I en II ter vervanging, de informatici volgen vanaf nu Wiskunde I en II.


Inleiding tot de hogere wiskunde is een inleidend wiskundevak voor alle Wina-richtingen in het eerste semester van de eerste Bachelor. Bekende begrippen uit het middelbaar als functies, limieten, afgeleiden en integralen worden opgefrist en nauwkeurig ingevoerd. Ook wordt kennis gemaakt met belangrijke nieuwe begrippen, zoals machtreeksen, differentiaalvergelijkingen en functies in meerdere veranderlijken. De nadruk ligt hierbij eerder op het toepassen, en minder op het theoretische onderbouwing of op de bewijzen.

Informatie over het examen

Examen januari 2008 van Rony Keppens en Stefaan Poedts

Het examen bestond uit 4 theorievragen, op 10 punten, en 5 oefeningen, eveneens op 10 punten. Op het theoriegedeelte werden geheel tegen de verwachtingen in geen bewijzen gevraagd, wel definities. Al bij al kan het theoriedeel niet echt moeilijk worden genoemd, maar zorg dat je de theorie wel grondig doorhebt en herlees de definities grondig.

Bij het oefeningengedeelte mocht een portfolio worden gebruikt, wat vooral een handige hulp is om hier en daar eens een formule na te kijken. Het oefeningendeel was niet makkelijk, en er was weinig tijd. Een goed portfolio is handig, maar hou het kort of zorg dat je alles snel terugvindt. De oefeningen waren wél steeds varianten op oefeningen uit de oefenzittingen. Verspil geen tijd en werk geconcentreerd door, maak eerst de oefeningen die je meteen denkt te kunnen. Het is ten sterkste aangeraden het portfolio uit te breiden met oefeningen uit de oefenzittingen, naast de theorie van het handboek.


Onderstaande tekst is opgesteld voor IHW zoals het door prof Kuijlaars gegeven werd - alhoewel de informatie nuttig kan zijn is het aan te raden om je hierop NIET te baseren.

Het examen voor het vak Inleiding tot de Hogere Wiskunde bestaat uit 6 vragen: 2 theorievragen (die elk op 4 punten staan) en 4 oefening-vragen (die elk op 3 punten staan). Voor het examen krijg je 4 uur tijd: dat is niet zo veel, dus werk goed door. Je mag op het examen je formularium gebruiken (zolang je het zelf meeneemt). Probeer om bij het studeren steeds je formularium bij je te hebben, zodat je daaraan went en zodat je alles goed weet staan - tijdsdruk is namelijk een belangrijke factor!

Wat de theorievragen betreft kan er in principe niet zoveel misgaan. Je moet weliswaar een relatief groot aantal definities en stellingen kennen (en nauwkeurig kunnen formuleren), maar het aantal bewijzen dat je moet leren is héél beperkt. Een theorievraag bestaat meestal uit 2 delen - in dat geval is het eerste deel waarschijnlijk een definitie, en het tweede deel is waarschijnlijk een toepassing daarop. De kans is groot dat je een stelling zal moeten bewijzen waarvan het bewijs een aanpassing is van het bewijs in de cursus. Zorg ervoor dat je deze bewijzen beheerst en vlotjes kan aanpassen. Zo staat er in de cursus bijvoorbeeld het bewijs voor het feit dat elke niet-lege, naar boven begrensde verzameling een supremum heeft: een typische vraag zou dan zijn om de analoge stelling te bewijzen voor een naar onder begrensde verzameling, met een infimum dus. Professor Kuijlaars is heel erg goed in het vermommmen van stellingen en probeert mensen in de war te brengen - zorg er dus voor dat je de stelling in kwestie herkent, laat je niet vangen. Niet alle theorievragen zijn definities of bewijzen - de prof kan natuurlijk ook vragen hoe de Riemann integraal wordt ingevoerd, hoe je een differentiaalvergelijking van de tweede orde oplost... en de kans bestaat ook dat je een bewijs moeten geven dat je zelf moet verzinnen en dat niet in de cursus staat (zie bvb vraag 2b van het examen van 2006-01).

De oefeningen zijn meestal typische oefeningen zoals in de oefenzittingen - al zijn ze soms iets moeilijker. Zorg ervoor dat je geen moeite meer hebt met standaard-dingen zoals limieten, afgeleiden, integralen berekenen, de convergentie van een rij aantonen, een inductiebewijs geven, gewone differentiaalvergelijkingen oplossen... Je mag zeker een echte rekenoefening verwachten - waarbij je een paar integralen of limieten moet berekenen. Ook een differentiaalvergelijking zal er hoogstwaarschijnlijk bijhoren, al kan dat bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking met niet-constante coëfficiënten zijn (en dan zal hij wel een hint of twee geven - zie het examen van 2006-01, vraag 4). Er zit altijd wel zo'n oefening bij die iets minder eenvoudig is.

De conclusie is: als je goed voorbereid bent, zal je niet voor verrassingen komen te staan en kan er niets mislopen :).

Examens

2009 2de zit

(heel onvolledig, maar geeft hopelijk toch een indruk, aanvulling gewenst)!!!

Vragen theoriegedeelte:

  1. Een aan te vullen versie (vergelijkbaar met het bewijs van het examen van januari) van het bewijs van de hoofdstelling voor continue functies, maar dan analoog ( dus voor infimum ) Er werd enkel het tweede deel van het bewijs gevraagd.
  2. Bewijs met behulp van volledige inductie dat voor elk natuurlijk getal n geldt dat convergeert als je weet dat en dat je partiele integratie moet gebruiken.
  3. geef de definitie van afleidbaarheid voor een functie van 3 veranderlijken ( het tweede gedeelte van deze vraag ben ik vergeten --Het was iets met het vectorproduct van gradient van f en gradient van g, en iets met een kromme. en het vectorproduct was niet nul--)
  4. meerkeuzevragen (5 in totaal.. op 2 punten, + 0,4 correct, -0,2 fout)
    • welke van de mogelijkheden verschilt van de 3 anderen ?
    • functie is afleidbaar, welk is waar?
      • als de functie minimum bereikt ist kritiek punt
      • als de functie extremum bereikt in inwendig punt ist kritiek punt
      • ...
      • ...
    • Welk vn dees is NIET waar voor een functie f die continu op [a,b] met maximum M en minimum m?
      • er bestaat een bovensom die groter is dan M(b-a)
      • ...
      • ...
      • ...

Het zijn zo flarden wa ik mij herinner..

Vragen Oefeningengedeelte:

  1. gegeven is de machtreeks
    • geef het getal a waarrond de machtreeks gevormd is
    • geef de convergentiestraal van de machtreeks
    • geef het convergentiegebied van de machtreeks
  2. geef de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking y"(t)+2y'(t) = 4
  3. bereken het volume ingesloten door de paraboloide en de bol
  4. bereken het volume van de functie wanneer deze wordt omwentelt rond de x-as van min oneindig tot ln(2)
  5. gegeven is het ellips met de vgl met in de ellips een ingeschreven rechthoek
    • schets de figuur
    • bereken met behulp van de Lagrangetechniek het maximale oppervlak van de rechthoek, wanneer je het hoekpunt dat gelegen is in het eerste kwadrant de coördinaten (x,y) meegeeft
    • schets 3 van de niveaukrommen en leg uit hoe je hieraan kan zien waar het maximum van de te maximaliseren functie ligt

2009-01-12

Vragen theoriegedeelte:

  1. Definieer de convergentiestraal van een machtreeks . Leg uit hoe met behulp van de convergentietest van Cauchy de convergentiestraal kan bekomen worden van de reeks: .
  2. Zij f een reële functie van n veranderlijken die gedefinieerd en afleidbaar is op een deelverzameling van van . Indien f een lokaal minimum bereikt in een inwendig punt van dan is een kritiek punt van de functie f.
    • We veronderstellen dat f een lokaal minimum bereikt in het inwendig punt , zodat
    • ...
    • Omdat ... wordt de toevoeging U overbodig, zodat er een is met
    • ...
    • Zij een eenheidsvector in . We kiezen de waarden van de parameter t zodat
    • ...
    • De parameter t moet bijgevolg voldoen aan ..., en omdat ... is t . We hebben bijgevolg dat
    • ...
    • We definiëren de functie g(t)als .
    • Dan is ... , en dus ...
    • Vanwege de kettingregel is dan ...
  3. Stelling van Cauchy. Bespreken + 2 oefeningen oplossen mbv de stelling.
  4. Meerkeuzevragen (5).
    • 1 Gegeven rij , rij . = *.
      • is convergent met limiet ...
      • is divergent.
      • is convergent met limiet
      • is convergent met limiet
    • 2 Welk van volgende gelijkheiden klopt.
      • is onbepaald
    • 3 Beschouw een functie met 2008 veranderlijken, en een vector , dan was .
      • onbepaald
      • raakvlak niveauoppervlak van die functie
      • niveauoppervlak is lege verzameling.
    • 4 Kwam neer op wanneer aan de stelling van Rolle voldaan is. (Niet de exacte vraagstelling) Wanneer kan je zeggen dat de eerste afgeleide van f(x) zeker een nulpunt zal bereiken tussen a en b.
      • en
    • 5 Iets met richtingsafgeleide.

(Let op: Deze informatie kan niet helemaal kloppen en is onvolledig!)


Vragen oefeningengedeelte:

    • Gegeven: een cirkel met straal R. Een trapezium met een van de twee evenwijdige zijden de diameter van de cirkel.
    • De opstaande zijden worden bepaald door x. Bepaal x zodat de omtrek van het trapezium maximaal is.
  1. Geef de algemene oplossing van volgende vergelijking:
  2. Bepaal het volume ingesloten door 1) de cilinder , 2) het x-y-vlak en 3)het oppervlak bepaald door
  3. Herschrijf de volgende functie zodat er geen goniometrische of cyclometrische functies meer in voorkomen:
  4. Bespreek het tekenverloop van de volgende functie. Bepaal en bespreek de kritieke punten. Bepaal ook de eventuele buigpunten en asymptoten. Geef tevens de snijdingen met de assen en de raaklijnen aan de grafiek in x = 1 en x = -1.
    • met x [-1,1]


2008-01-18

Examen Januari 2008 in PDF: Media:Examen2008IHW.pdf

Examens IHW uit de tijd dat het vak door professor Kuijlaars gegeven werd

2007-01-22

    • Geef de definitie van convergentie en van absolute convergentie van een reeks . Geef een voorbeeld van een convergente reeks die niet absoluut convergent is.
    • Neem aan dat en twee rijen van complexe getallen zijn waarvoor geldt dat als . Neem aan dat de reeks convergent is. Bewijs hieruit dat de reeks dan ook convergent is.
      [N.B. U moet hierbij het bewijs van een analoge stelling uit de cursus aanpassen aan de gegeven situatie. Eigenschappen van convergente rijen mag u gebruiken; evenals de eigenschap dat een absoluut convergente reeks convergent is.]
    • Geldt de stelling ook als we in het vorige onderdeel genomen hadden?
    • Geef de definitie van differentieerbaarheid (afleidbaarheid) van een functie .
    • Geef de definitie van differentieerbaarheid (afleidbaarheid) van een functie . Leg uit waarom dit de veralgemening is van de definitie voor 1 veranderlijke
    • Zij . Een functie waarvan alle eerste en tweede orde partiële afgeleiden bestaan in . Zij q de gradient van f in en H de Hessiaan van f. Neem verder aan dat . Duid alle juiste uitspraken aan.
      • f is afleidbaar in .
      • q staat in loodrecht op de grafiek van f.
      • q wijst in in de richting waarin f het snelst stijgt.
      • is een kritiek punt van f.
    • Zij een chemische reactie. Hierin is gegeven dat en . Bovendien is en .
    • Toon aan dat constant is in de tijd
    • Stel, met behulp van het vorige onderdeel, een differeniaalvergelijking op voor x, zonder y.
    • Als geweten is dat , bepaal dan en .
    • Maak 3 van de volgende 4 oefeningen (U moet 1 schrappen)
    • i)bereken
    • ii)Geef de Maclaurinveelterm van graad 4 van de functie
    • iii) bereken waarin
    • iv) bereken over het gebied
    • Gegeven is een rij waarvoor geldt dat
    • Bewijs dat voor alle
    • Bewijs dat Stijgend is voor alle
    • Toon aan dat de rij convergeert en bepaal de limiet.
    • Zij gegeven door
    • Zoek alle kritieke punten van f.
    • Classificeer alle kritieke punten (maximum, minimum, zadelpunt).
    • Zoek het maximum en het minimum van f op de schijf [Hint: als dan is f gegeven door ]

2006-01-??

    • Geef de definitie van convergentie van een rij van reële getallen.
    • Gebruik deze definitie om aan te tonen dat een reële rij convergeert als er geldt dat voor alle en voor alle .
    • Geef de definitie van differentieerbaarheid (afleidbaarheid) van een functie .
    • Zijn en afleidbare functies. Beschouw de kromme in gegeven door de vergelijkingen g(x,y,z) = a en h(x,y,z) = b, waarbij a en b reële constanten zijn. Laat zien dat het vectorproduct , uitgerekend in een punt op de kromme, een raakvector aan de kromme is.
    • Bewijs met behulp van volledige inductie dat de identiteit geldt voor alle natuurlijke getallen n en voor alle reële getallen x in ]-1,1[.
    • Bewijs dat voor een reële veelterm p(x) van graad n geldt dat waarbij q(x) de veelterm is die gegeven wordt door .
  1. Beschouw de differentiaalvergelijking t² x"(t) + 3 tx'(t) + 3x(t) = 0 voor .
    • Zoek oplossingen voor de differentiaalvergelijking van de vorm met een complex getal. Bepaal dan de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. (Hint: gebruik de identiteit die geldt voor alle en voor alle t > 0.)
    • Bepaal alle oplossingen waarvoor geldt dat x(1) = 0. Deze oplossingen hebben nog andere nulpunten. Bepaal al deze nulpunten.
  2. Van de volgende 5 oefeningen moeten er precies 4 worden opgelost.
    • Zij een reële rij met limiet 3 en zij een reële rij zodat en voor alle n. Bepaal de limiet van .
    • Bepaal alle reële getallen A waarvoor geldt dat
    • Bereken de limiet
    • Bepaal de Taylorveeltermen van graad 3 in het punt 0 voor en . Bereken .
    • Bereken de integraal
  3. Beschouw de volgende functie van drie veranderlijken:
    • Bepaal en classificeer alle kritieke punten van f.
    • Bepaal het minimum en maximum van f op het gebied gegeven door .

2005-08-??

    • Geef de definitie van convergentie van een rij van complexe getallen.
    • Geef de definitie van convergentie en van absolute convergentie van een reeks . Geef een voorbeeld van een convergente reeks die niet absoluut convergent is.
    • Neem aan dat en twee rijen van complexe getallen zijn waarvoor geldt dat als . Neem aan dat de reeks convergent is. Bewijs hieruit dat de reeks dan ook convergent is.
      [N.B. U moet hierbij het bewijs van een analoge stelling uit de cursus aanpassen aan de gegeven situatie. Eigenschappen van convergente rijen mag u gebruiken; evenals de eigenschap dat een absoluut convergente reeks convergent is.]
    • Leg duidelijk uit hoe de bepaalde integraal van een begrensde functie is ingevoerd. Behandel hierbij in ieder geval:
      • Een partitie van [a, b].
      • De bovensom en ondersom behorende bij een partitie.
      • De bovenintegraal en onderintegraal.
    • Formuleer de hoofdstelling van de integraalrekening en leg uit hoe deze gebruikt kan worden om de afgeleide van een functie van de vorm te berekenen. Hierin zijn a(x) en b(x) gegeven afleidbare functies van x.
    • Bereken de oplossing van de differentiaalvergelijking x" + 2x' - 3x = t + 1 die voldoet aan x(0) = 1 en x'(0) = 0.
    • Bereken de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor een functie y zodat y' = 20y - y² en schets de grafiek van enkele oplossingen.
  1. Maak 4 van de onderstaande 5 opgaven naar keuze. Doorstreep duidelijk de opgave die je niet wil laten meetellen. U MOET ÉÉN OPGAVE DOORSTREPEN!
    • Bereken met de rij gedefinieerd door en .
      [N.B. U hoeft niet aan te tonen dat de rij convergent is.]
    • Bereken
    • Bereken
    • Bereken
    • Bereken
  2. Beschouw de volgende machtreeks:
    • Bepaal de convergentieschijf van deze machtreeks en maak een schets van de convergentieschijf in het complexe vlak.
      [N.B. Convergentie op de rand hoeft u niet te onderzoeken.]
    • Onderzoek of de machtreeks convergeert in de volgende punten:
      • x = 0
      • x = 1 + 2i
      • x = 2
  3. Gegeven is de functie
    • Geef een Cartesische vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in het punt (2, -2, 12). Wat is de normaal van het raakvlak?
    • Bereken de kritieke punten van f.
    • Bepaal de aard (maximum, minimum of zadelpunt) van elk van de kritieke punten.

Tussentijdse toetsen

2008-11-12

Vragen theoriegedeelte (8 ptn)

    • Indien de functie , met die voldoet aan de voorwaarden ... (1), dan bestaat er minstens één punt waarvoor .
    • Bewijs:
    • Definieer de hulpfunctie waarbij de veelterm gegeven is door ...(2)
    • (3) Leg nu uit waarom een punt bestaat waar .
    • (4) Geef een grafische interpretatie van de bewering in deze stelling.
    • (5) Gebruk de stelling om aan te tonen dat
    • Vervolledig de voorwaarden bij (1), geef de formule voor bij (2), en beantwoord punten (3),(4) en (5).
    • (3ptn)
    • Beschouw de alternerende reeks waarvoor de even termen gegeven zijn door en de oneven termen door . Leg uit waarom het criterium van Leibniz geen uitspraak geeft over de convergentie van deze reeks. Bepaal verder of deze reeks divergent, relatief convergent, of absoluut convergent is, en leg uit waarom (de eventuele som van de reeks hoeft niet te worden berekend).
    • (3ptn)
  1. Meerkeuzevragen: duid aan welke (telkens juist 1) van de volgende uitspraken juist is! (1pt voor elk juist antwoord, -1/2 pt voor elk foutief antwoord, 0 ptn voor elke ontbrekend antwoord!)
    • Als en twee reële functies zijn van én reële veranderlijke () en en , dan kan je besluiten dat en :
      • gelijk is aan 0.
      • niet bestaat.
      • niet altijd kan bepaald worden; het is zelfs niet zeker dat deze limiet bestaat.
      • zeker bestaat maar de waarde ervan kan niet bepaald worden met de verstrekte gegevens.
    • Stel dat evolutie van de totale staatsschuld van België beschreven wordt door de functie (hierbij drukt de tijd uit in jaren gemeten vanaf het begin van de jaartelling). De uitspraak "de toename van de staatsschuld is van 1995 tot nu voortdurend afgenomen" betekent wiskundig:
      • .
      • .
      • en .
      • .

2005-11-??

    • Geef de definitie van continuïteit van een functie g op een interval [a, b].
    • Neem aan dat continu is. Bewijs dat de functie naar onder begrensd is, met andere woorden, bewijs dat er een bestaat met de eigenschap dat .
  1. Zij de rij gegeven door en , voor alle n.
    • Laat zien dat de rij dalend is.
    • Toon aan dat de rij convergeert en bepaal de limiet.
  2. Zij gegeven door , met een vast getal.
    • Bereken de limiet .
    • Bepaal zodat f een kritiek punt heeft in x = 1.
    • Onderzoek de convergentie van de reeks .

Losse examenvragen

    • Geef de definitie van afleidbaarheid van een functie in een punt .
    • Geef de definitie van afleidbaarheid van een functie van n veranderlijken in een punt .
    • Neem aan dat alle eerste en tweede orde partiële afgeleiden van bestaan en continu zijn. Zij de gradiënt en H de Hessiaan van f in het punt . Neem aan dat . Kruis alle juiste uitspraken aan.
      • staat loodrecht op het niveauoppervlak van f.
      • staat loodrecht op de grafiek van f.
      • f bereik in geen extremum.
      • Het zou kunnen dat f in een extremum bereikt. Dit hangt af van de eigenwaarden van H.
    • Geef de definitie van convergentie van een rij van reële getallen.
    • Neem aan dat een rij positieve getallen is met de eigenschap dat . Bewijs met behulp van de definitie dat de rij convergent is.
  1. Beschouw de kromme K die in poolcoördinaten gegeven wordt door , .
    • Schets de kromme K.
    • Bereken de lengte van K.
    • Vind alle kritieke punten van de functie . Geef van elk kritiek punt aan of het een lokaal maximum, lokaal minimum of een zadelpunt betreft.
    • Bereken het maximum en het minimum van f(x,y) op het vierkant .
  2. Beschouw de differentiaalvergelijking
    (1)
    met beginvoorwaarde x(0) > 0.
    • Neem en leid een differentiaalvergelijking voor y(t) af.
    • Bepaal de algemene oplossing van (1).
    • Schets de grafiek van de oplossing van (1) die voldoet aan x(0) = 4.
    • Neem aan dat f continu is in het interval [-3,3] met f(-3) = 2 en f(3) = -1. Bewijs dat er tenminste één bestaat met .
    • Hoeveel stappen van de bisectiemethode zijn nodig om het punt te berekenen met een fout die kleiner is dan ?
    • Geef de definitie van convergentie en absolute convergentie van een reeks .
    • Wat is de convergentiestraal van een machtreeks ? Geef drie voorbeelden van machtreeksen met respectievelijke convergentiestralen .
    • Neem aan dat de reeks convergent is. Wat kunt u hieruit concluderen omtrent de convergentiestraal van de machtreeks ?
      • De convergentiestraal van de machtreeks is .
      • De convergentiestraal van de machtreeks is .
      • De convergentiestraal van de machtreeks is 1.
      • Je kunt niets zeggen over de convergentiestraal.
    • Neem aan dat de convergentiestraal van gelijk is aan 3. Wat kunt u hieruit concluderen?
      • De convergentiestraal van is ook geijk aan 3.
      • De limiet bestaat en is gelijk aan 1/3.
      • Als een rij is met als , dan is de convergentiestraal van de machtreeks ten minste gelijk aan 3.
  3. Beschouw de integraal .
    • Schets het gebied in waarover geïntegreerd wordt.
    • Bereken de integraal.
  4. Beschouw
    • Bereken de gradiënt van F en teken de krommen in het xy-vlak waarvoor of .
    • Bereken de kritieke punten van F.
    • Bepaal de aard van het kritieke punt dat zich in het eerste kwadrant bevindt. Betreft het een lokaal maximum, lokaal minimum of zadelpunt?
  5. Neem aan dat de functies x(t) en y(t) voldoen aan de differentiaalvergelijkingen
    , . (1)
    • Toon aan dat er een constante is met .
    • Geef de algemene oplossing van (1). Bepaal zowel x(t) als y(t).
      [N.B. Het antwoord hangt af van de constante C uit (a). Onderscheid de gevallen en ]
  6. Zij D het gebied .
    • Maak een schets van D.
    • Berekent de integraal .
  7. Beschouw de differentiaalvergelijking .
    • Bepaal de algemene oplossing.
    • Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking die een extremum bereikt in t=1.
    • Geef de definitie (rijdefinitie of definitie) van continuïteit van een functie in een punt .
    • Neem aan dat f continu is in het interval [1,2]. Bewijs dat er een M>0 is zodanig dat .
    • Leg uit hoe de homogene differentiaalvergelijking
      (1)
      met constanten algemeen opgelost kan worden. Vermeld wat de rol is van de karakteristieke veelterm.
    • Kruis de juiste beweringen aan omtrent de differentiaalvergelijking
      (2)
      • De oplossingen van (2) vormen een reële vectorruimte van dimensie 2.
      • De differentiaalvergelijking (2) kan worden opgelost met de methode van scheiding van veranderlijken.
      • Een particuliere oplossing kan gevonden worden door te proberen in (2).
  8. Gegeven .
    • Zoek zodat de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in gegeven wordt door .
    • Bepaal de kritieke punten en hun aard van de functie f.
  9. Bereken de volgende limieten:
    • zonder de regel van de l'Hôpital te gebruiken!
    • .
    • Leg uit hoe de bepaalde integraal van een begrensde functie ingevoerd is. Laat hierbij in ieder geval de volgende begrippen aan bod komen:
      • Partitie van [a,b]
      • Ondersom en bovensom
      • Onderintegraal en bovenintegraal
      • Riemann-integreerbaarheid van f
    • Gegeven is een dalende functie waarvoor de oneigenlijke integraal convergent is. Kruis alle juiste uitspraken aan.
      • De limiet bestaat.
      • De reeks is convergent.
      • De reeks is convergent.
      • Indien voor elke , dan convergeert .
  10. Gegeven is de functie .
    • Bereken de kritieke punten van f.
    • Bepaal van elk kritiek punt of het een lokaal minimum, lokaal maximum of een zadelpunt is.
    • Bereken waarin .
  11. Leg duidelijk uit hoe een differentiaalvergelijking van de vorm opgelost kan worden. Hierin is en .
  12. Beschouw de functie .
    • Onderzoek het verloop van f en maak een schets van de grafiek.
    • Bepaal voor welke de reeks convergent is.
    • Geef de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking .
    • Bereken de limiet . U mag aannemen dat x(0) > 0.
    • Geef de definitie van convergentie van een rij .
    • Naam aan dat en twee rijen zijn waarvoor geldt . Neem aan dat de rij convergeert. Toon aan dat ook convergent is.
    • Kruis alle juist uitspraken aan:
      • Een convergente rij is begrensd.
      • Een stijgende rij is begrensd.
      • Een begrensde rij heeft een stijgende deelrij.
  13. Beschouw
    • Geef de Maclaurinveelterm van graad 7 voor f. Geef ook een uitdrukking voor de restterm.
    • Geef de Maclaurinreeks van f.
    • Bepaal een veelterm die op het interval [0,1] minder dan verschilt van f.
  14. Vind het maximum en het minimum van de functie onder de voorwaarde .
    • Geef de definitie van convergentie van een rij .
    • Bewijs met behulp vande definitie dat een dalende rij die naar onder begrensd is, convergent is.
    • Kruis alle juiste uitspraken aan:
      • Een convergente rij is begrensd.
      • Als en convergente rijen zijn met , en is een rij met , dan is ook de rij convergent en .
      • Een rij waarvoor geldt dat , is convergent.
    • Bespreek de transformatiestelling voor het berekenen van dubbele integralen. Leg daarbij in ieder geval goed uit wat de rol van de Jacobiaan is.
    • Behandel als speciaal geval de transformatie met x=u+v en y=u-v toegepast op de integraal waarbij D de driehoek is met als hoekpunten (0,0), (1,-1) en (1,1).
    • Onderzoek voor welk de reeks convergent is.
    • Bereken de Maclaurinreeks voor de functie .
    • Bepaal alle waarvoor de reeks uit (b) convergeert.
    • Bereken de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking .
    • Schets de grafiek van de oplossing die voldoet aan x(0) = 2.
    • Bereken de limieten en .

Handige documenten

Formularium uit de tijd dat dit vak nog door prof. Kuijlaars gegeven werd.