Differentiaalvergelijkingen

Ga naar: navigatie, zoeken

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Over het vak

Wina verdeelt de cursus, deze bevat ongeveer 240 bladzijden. Het eerste deel wordt algemeen als niet zo moeilijk beschouwd, terwijl het tweede deel (dat veel toepassingen uit de fysica behandelt) dan weer wel als moeilijk bestempeld wordt.

Voorheen maakte complexe functies ook nog deel uit van de leerstof voor de fysici. Dat is een apart vak geworden.

Er zijn twee hoorcolleges per week en één oefenzitting.

Het vak wordt gegeven door 2 professoren: Professor Van Assche geeft het deel over gewone differentiaalvergelijkingen (hoofdstukken 1-6), en Professor Lapenta (voorheen: Fannes) geeft het deel over partiële differentiaalvergelijkingen (hoofdstukken 9-14).

Hierbuiten is er gedurende het jaar nog een project. Voor de wiskundigen wordt het gegeven door professor Van Assche en voor de fysici wordt het dan weer gegeven door professor Lapenta. In 2005/2006 ging dit over de numerieke methodes, in 2006/2007 over conforme afbeeldingen en in 2007/2008 en 2008/2009 kreeg wiskunde een taak over de numerieke methodes en fysica over complexe integratie (2008-2009: de vergelijking van Laplace in 2D). In 2009/2010 kreeg wiskunde een taak over numerieke methodes (hoofdstuk 6) en de fysicastudenten kregen een taak over de vergelijking van Laplace in 2D. In 2010/2011 kreeg wiskunde de Duffingvergelijking voorgeschoteld en fysica de Diracdistributie en diffusievergelijking. Studenten van een andere bachelor mochten kiezen tussen beide.

Daarbij zijn er tijdens het semester nog twee oefeningenexamens (de theorie wordt pas behandeld tijdens het januari examen). Het eerste gaat over het deel van professor Van Assche en vindt plaats ergens in het midden van het semester, terwijl het tweede over het deel van professor Lapenta gaat en pas plaats vindt op het einde van het semester. Deze zijn beide open boek, maar je mag enkel je cursus meenemen, geen uitgewerkte oefeningen.

Het deel van het examen tijdens de examenperiode (januari) behandeld de theorie en is een open boek examen: dit betekent dat je het handboek, de cursusnota's die op Toledo beschikbaar zijn, je eigen lesnota's en uitgewerkte oefeningen mag meebrengen naar het examen. Het examen is mondeling bij de twee titularissen.

De puntenverdeling is als volgt [Outdated]: - WISKUNDE: 12 punten op de theorie, 4 punten op de oefeningen (samen) en 4 punten op het practicum. - FYSICA: 9 punten op de theorie, 6 punten op de oefeningen (samen), 3 punten op het practicum en 2 bonuspunten die op een of ander manier te verdienen vallen.

Voor de septemberzittijd kunnen het oefeningenexamen en het projectwerk worden overgedragen uit de eerste zittijd, maar deze kunnen ook opnieuw worden gemaakt.

Examenvragen

Academiejaar 2018-2019

15 Januari 2019

Examen Voormiddag 15 januari 2019

14 januari 2019 voormiddag

Examen voormiddag 14 januari 2019

14 januari 2019

Examen namiddag 14 januari 2019

bewerken: https://www.overleaf.com/3974191533bpbbmfmdmwjj

6 November 2018

Examen + Oplossingen 6 November 2018

19 december 2018

Examen + Oplossingen 19 December 2018

Academiejaar 2016-2017

3 februari 2017

Examen 3 februari 2017

30 januari 2017

Examen 30 januari 2017

16 januari 2017

Examen 16 januari 2017

Examen eerste zit

21 december 2016

Oefeningenexamen 21 december 2016

Oefeningenexamen 2

16 november 2016

Oefeningenexamen 16 november 2016

Oefeningenexamen 1

Academiejaar 2015-2016

Januari 2016

Examen januari 2016

Examen januari 2016

Academiejaar 2014-2015

24 augustus 2015

Herexamen (theorie)

Herexamen 2015

10 november 2014

Oefeningen Van Assche

Oefeningenexamen 1 : Gewone differentiaalvergelijkingen

17 december 2014

Oefeningen Fannes

Oefeningenexamen 2 : Partiële differentiaalvergelijkingen

19 Januari 2015

Theorie (wiskunde)

Theorie examen differentiaalvergelijkingen

Academiejaar 2012-2013

14 januari 2013

Theorie Van Assche

  1. Drie differentiaalvergelijkingen gegeven
    • Welke van deze differentiaalvergelijkingen hebben een regulier singulier punt in ?
    • Bepaal aan de hand van een Frobeniusreeks een eerste oplossing.
    • Hoe ga je te werk om een tweede oplossing te vinden?
  2. Systeem van drie differentiaalvergelijkingen
    • Bepaal aan de hand van de eigenwaardemethode een oplossing voor dit systeem.
    • Bereken eveneens de matrix-exponentiële van deze matrix.

Theorie Fannes

  1. Gegeven is .
    • Los op met behulp van de Laplace transformatie
    • Geef een schets van deze functie
  2. Bespreek de diffusievergelijking op een rotatie-invariante schijf. Hoe omschrijven we wiskundig dat het aantal deeltjes eindig is op ?
    • Geef de afleiding voor deze vergelijking aan de hand van de wet van Fick.

Oefeningen

  1. Systeem in twee veranderlijken (Hopf-bifurcatie)
    • Lineariseer rond de oorsprong, welke conclusies trek je hieruit?
    • Ga over op poolcoördinaten en toon aan dat de linearisatie van dit systeem geen goede benadering is.
  2. Golfvergelijking met demping.
    • Los deze vergelijking op met behulp van scheiden van veranderlijken en zorg ervoor dat deze aan de beginvoorwaarden voldoet.

18 januari 2013

Examen 18 januari 2013 (NM)

Academiejaar 2011-2012

20 januari 2012 (VM)

Examen 20 januari 2012 (VM)

24 januari 2012

Examen 24 januari 2012

Academiejaar 2010-2011

31 januari 2011 (NM)

Examen 31 januari 2011 (NM).

25 januari 2011 (VM)

Ik ben de theorievragen vergeten. Als iemand kan aanvullen, doe gerust.

Oefeningen

  1. Een voedselketen bestaat uit drie soorten , en met populatiegroottes , en . Ze voldoen aan de vergelijkingen

    waarin alle constanten strikt positief zijn.
    • Leg uit welke veronderstellingen tot de bovenstaande vergelijkingen kunnen leiden. Wat zijn de roofdieren? Wat zijn de prooidieren?
    • Bereken voor het geval

      de evenwichtspunten en bepaal de stabiliteit van het evenwichtspunt waarin alle populaties strikt positief zijn.
  2. Een snaar bevindt zich op de x-as en is ingeklemd tussen en . Op positie met wordt ze uitgerekt met een kleine uitwijking . Na loslaten krijgt men longitudinale trillingen. De uitwijking u voldoet aan de golfvergelijking met randvoorwaarden . De beginvoorwaarde is stuksgewijs lineair met voor en en voor
    • Los dit probleem op met scheiding van veranderlijken. Geef een reeksoplossing voor de uitwijking u.
    • Welke speciale reeks vind je door te bekijken voor en met

21 januari 2011 (VM)

Theorie Van Assche

  1. Beschouw een populatie vissen in een vijver (logistiek model) waarbij elke dag een vaste hoeveelheid vis uitgenomen wordt voor verkoop.
    • geef de differentiaalvergelijking en bepaal de kritieke punten.
    • wanneer zijn er geen reële kritieke punten? hoe ziet de oplossing er dan uit? maak een schets.
    • geef de voorwaarden en schets het geval waarbij er slechts 1 kritiek punt is
    • geef de voorwaarden en schets het geval waarbij er 2 kritieke punten zijn.
  2. Beschouw de Hypergeometrische differentiaalvergelijking
    • Geef de singuliere punten.
    • Bepaal voor elk een oplossing met behulp van machtreeksen.
    • Zijn de twee oplossingen lineair onafhankelijk? (hieruit kon je afleiden dat er 2 singuliere punten waren)

Theorie Fannes

    • Los de differentiaalvergelijking op. Is van exponentiele orde?
    • Geef de voorwaarden waaran en s moeten voldoen opdat de laplacegetransformeerde F=[insert definitie uit cursus] goed gedefinieerd is.
    • aan welke differentiaalvergelijking voldoet F nu en voor welke waarde van is dit dezelfde als de differentiaalvergelijking voor ?
  1. vraag in verschillende puntjes, maar het komt erop neer dat je voor een specifiek voorbeeld de warmtevergelijking in een schijf met rotatie-invariantie moet AFLEIDEN (dus je moet al die wetten van Newton en Fick en wat is het allemaal opschrijven en zeggen wat je doet).

Oefeningen

  1. kweetniemeer exact, iets met een matrix A
    • weet niet meer
    • Bepaal
  2. sturm-liouvilleprobleem:
    • eigenwaarden en eigenfuncties geven, behandel en apart.
    • toon expliciet aan dat er oneindig veel eigenwaarden zijn.
    • aan welke orthogonaliteitsrelatie voldoen de eigenfuncties?
    • weet niet meer

Academiejaar 2009-2010

30 augustus 2010

Oefeningen

  • Gebruik Picard iteratie om de eerste drie benaderingen te vinden voor het beginwaardeprobleem

    met en . Bereken de oplossing ook expliciet. Controleer de verkregen benaderingen met de exacte oplossing.

25 januari 2010 (VM)

Theorie Van Assche

  1. Een differentiaalvergelijking: met
    • Als dan kunnen we het faseportret expliciet bepalen. Doe dit en leg je methode uit.
    • Wat zijn de kritieke punten van de vergelijking indien ? Geef voor elk kritiek punt ook hun aard en de stabiliteit.
    • Hoe veranderen de kritieke punten en hun aard indien ?
  2. Stelsel van 5 vergelijkingen:

    Zoek 5 lineair onafhankelijke oplossingen van dit stelsel. Hint: het stelsel valt uiteen in twee aparte stelsels. Merk ook op dat 4 een eigenwaarde is.

Theorie Fannes

  1. Differentiaalvergelijking op de eenheidscirkel: We beschouwen functies op de eenheidscirkel waarbij we het punt identificeren met 0. We noemen een functie continu indien continu is op en . We noemen f continu differentieerbaar indien f continu differentieerbaar is op en (Domme accentjes geven een error, hier moet dus eigenlijk 2x f' staan. Weet iemand waar de error vandaan komt?)
    • Voor welke waarden van is de functie continu?
    • Zij f een continu differentieerbare functie op S. Toon aan dat
    • Zij g een continue functie op S. Welke voorwaarde moeten we op g leggen zodat de vergelijking f' = g een oplossing heeft? Vind de algemene oplossing van de vergelijking.
    • Los het probleem uit de vorige vraag op m.b.v. fourierreeksen. Onderstel hierbij dat g voldoende regulier is om geen convergentieproblemen te krijgen met de Fourierreeks.
  2. Golfvergelijking op de positieve reële rechte
    • Toon aan dat voldoet aan de golfvergelijking en de beginvoorwaarden en .
    • We zoeken nu naar een oplossing van de golfvergelijking op de positieve reele rechte met homogene randvoorwaarden van Dirichet in de oorsprong en beginvoorwaarden en voor . Hiervoor moet je eerst de functie f uitbreiden tot een oneven functie op de hele reele rechte en dan de oplossing uit deel 1 beperken tot .
    • Maak schetsen van deze oplossing voor een aantal waarden van t en bespreek.

Oefeningen

  1. 2 populaties met interactie: Twee populaties x en y voldoen aan en .
    • Volgen deze populaties een exponentieel of logistiek model? Is de interactie cooperatief, competitief of jager-prooi?
    • Wat zijn de kritieke punten van het stelsel? Geef voor elk kritiek punt het gelineariseerde stelsel en de stabiliteit.
    • Bereken voor een van de matrices uit de vorige vraag (niet de matrix bij het kritieke punt . Je mag aannemen dat .
  2. Temperatuur op een staaf van lengte L voldoet aan de warmtevergelijking, in de randpunten gelden volgend inhomogene randvoorwaarden van Neumann en met . De verdeling van de temperatuur op t=0 is gegeven.
    • We zoeken een oplossing van de vorm . Zoek alle voorwaarden waaraan de particuliere en homogene oplossingen moeten voldoen.
    • We doen een voorstel: . Bepaal a en b.
    • Los nu ook de rest van het probleem op.

19 januari 2010 (VM)

Theorie Van Assche

  1. Veersysteem van drie massa's en 5 veren. 1e massa (een grote) is verbonden met de muur (langs links), met de tweede massa(een kleinere) door een korte veer, en met de derde massa met een lange veer (beide langs rechts). De tweede massa is verbonden met beide massa's (massa 1 langs links, massa 3 langs rechts) en de derde massa(ook een grote) is verbonden met de tweede muur (langs rechts) en dus ook met de 2 andere massa's(langs links). Dv.png
    • Vind de differentiaalvergelijking die dit systeem beschrijft.
    • Los de differentiaalvergelijkingen op met , en en bespreek de beweging. (Bijvragen: wat voor een kritiek punt is (0,0,0)? wat als er ook wrijving is?) (Komt de nummering van de veren in het prentje overeen met die op het examen?)
    • Wat voor punt is ?
    • Vind een oplossing voor deze differentiaalvergelijking.
    • Vind een tweede lineair onafhankelijke oplossing met behulp van ordereductie

Theorie Fannes

  1. We gaan de Laplacegetransformeerde van bepalen. Deze voldoet strikt gezien niet aan de voorwaarden gezien in de cursus omdat divergeert in , ze divergeert echter zwak genoeg om toch de Laplacegetransformeerde te kunnen definiëren.
    • Voor welke is de oneigenlijke integraal goed gedefinieerd?
    • Toon aan dat . Vermeld welke eigenschappen je gebruikt.
    • Los de differentiaalvergelijking uit de vorige vraag op. Hier bekom je een integratieconstante, om deze te bepalen mag je de volgende informatie gebruiken (je moet dit niet aantonen) , de constante van Euler.
  2. Sinusintegraaltransformatie.
    • Bewijs de volgende formules voor de sinusintegraaltransformatie: en
    • Gebruik de sinusintegraaltransformatie om de warmtevergelijking op te lossen op met homogene Dirichletvoorwaarden in de oorsprong.

Oefeningen

  1. Gegeven het volgende stelsel Alle functies hangen af van t.
    • Geef de algemene oplossing van dit stelsel.
    • Zij de matrix van dit stelsel. Bereken
    • Geef de oplossing van het volgende inhomogene stelsel:
  2. Los de warmtevergelijking op in een dunne warmtegeleider waarbij er gelijkmatig verhit wordt over de hele lengte van de geleider. Beide uiteinden worden op temperatuur gehouden en de initiële temperatuursverdeling wordt gegeven door .
    • Toon aan dat een oplossing van dit probleem gegeven wordt door met en en
    • Schrijf de oplossing u als een particuliere en een homogene oplossing. Geef de vergelijkingen aan de welke deze functies moeten voldoen.
    • Bepaal de particuliere oplossing. Schets de temperatuursverdeling na zeer lange tijd. Is die afhankelijk van de beginvoorwaarde?

15 januari 2010 (VM)

Theorie Van Assche

  1. Veersysteem: twee massa's, vier veren, allemaal op 1 rechte: veer 1 () is tussen muur 1 en massa 1, veer 2 () is tussen massa 1 en massa 2, veer 3 () is tussen massa 2 en muur 2 en veer 4 () is tussen massa 1 en muur 2.
    • Vind de differentiaalvergelijkingen die hieraan voldoen en leg uit.
    • Los de differentiaalvergelijkingen op met , en en bespreek de beweging. (Bijvragen: wat voor een kritiek punt is (0,0)? wat als er ook wrijving is? wat voor een kritiek punt is (0,0) dan?)
  2. Gegeven een lastige differentiaalvergelijking: waarbij a,b,c,q constanten zijn zodat
    • Vul in met en toon aan dat je nog steeds een tweedegraadsvergelijking uitkomt.
    • Neem . Toon aan dat je een Besselfunctie vind.
    • Geef de algemene oplossing voor .

Theorie Fannes

  1. We gaan I berekenen, met
    • Bewijs eerst dat (*) onafhankelijk is van t.
    • Bereken I door de laplacetransformatie van (*) te nemen.
  2. We bekijken een warmtegeleider waarvan de doorsnede van x afhangt.
    • Bewijs dat de warmtevergelijking dan wordt gegeven door: (waarbij en dezelfde zijn als in de gewone warmtevergelijking in 1D)
    • Bereken de oplossing met in [0,L] waarbij , en blijft eindig.

Oefeningen

  1. Los de golfvergelijking op in de bol B met straal 1. We hebben homogene randvoorwaarden van Dirichlet, en als beginvoorwaarden: (met x het punt en r de afstand tot de oorsprong) en . Tip: Scheiding van veranderlijken en substitueer .
    • Is het punt regulier, regulier singulier of niet-regulier singulier?
    • Vind een machtreeksoplossing in .
    • Vind een tweede onafhankelijke oplossing in .

Academiejaar 2008-2009

19 augustus 2009 (VM)

Theorie Van Assche

  1. Een differentiaalvergelijking.
    • zoek een oplossing met behulp van machtreeksen
    • geef een tweede lineaire onafhankelijke oplossing (dit moest met ordereductie, maar de eerste vgl was heel eenvoudig, het stond niet bij op het examen dat het met ordereductie moest)
    • geef de Wronskiaan van de oplossingen. (Als bijvraag op het mondelinge gedeelte zelf moest je kunnen uitleggen wat je nu kon afleiden uit de Wronskiaan)
  2. Gegeven: twee stelsel van twee differentiaalvergelijkingen en drie verschillende faseportretten.
    • zoek de kritieke punten en bepaal de aard ervan en bepaal welk faseportret bij welk stelsel hoort
    • (op het mondelinge gedeelte moest je ook de faseportretten kunnen interpreteren en kunnen uitleggen wat voor populatie ze konden voorstellen)

Theorie Fannes

  1. en
    • Bepaal .
    • Los de vergelijking op indien
  2. opgave 12.1 i)

Oefeningen

  1. Bepaal met
    • Los het volgende stelsel op:
  2. Los op: voor met als randvoorwaarden

23 januari 2009 (VM)

PDF met het examen: Media:Examen_23_januari.pdf. Ook hier komen de vragen niet letterlijk overeen met die op het examen zelf, en ik kan ook niet garanderen dat de opgaven foutloos zijn.

20 januari 2009 (VM)

Pdf: Media:DV_20_januari_2009.pdf De verwoording is niet letterlijk maar ik heb zoveel mogelijk proberen te reconstrueren (Thomas).

12 januari 2009 (NM)

Ik kan niet met die wiki werken dus een snelle pdf gemaakt, als iemand de matrix nog heeft die ben ik kwijt. Overigens is bij de eerste vraag ook T groter dan 0. En dit is de matrix Media:DV_2008-2009_12_januari.pdf

12 januari 2009 (VM)

Pdf: Media:ExamenDV2009.pdf

Ik heb de pdf gemaakt zoals de vragen op het examen gegeven worden. (Dus de aanwijzing bij de theorie van prof. Fannes was gegeven op het examen.) Verder maakte prof. Van Assche nog een mopje in het begin door de hint te geven bij zijn eerste theorievraag: "Ik zal meteen iedereen gelijkschakelen: lieveheersbeestjes eten bladluizen, niet omgekeerd."

Academiejaar 2007-2008

22 januari 2008 (VM)

Theorie Van Assche

  1. Katten, Vossen en Muizen leven samen in een systeem. Als de vossen afwezig zijn leven de Katten en Muizen in een Lotka-Volterramodel. Als de katten afwezig zijn, leven de Vossen en de muizen in een Lotka-Volterra model. Als de Muizen afwezig zijn leven de katten en de vossen in een Malthusmodel zonder interactie.
    • Schrijf de vergelijkingen van dit systeem
    • Wat is de aard en de stabiliteit van het kritieke punt (0,0,0)?
    • Zijn er nog andere kritieke punten. Wat kan je hierover zeggen?
  2. Gegeven:
    • Wat is de aard van het punt 0
    • Geef 2 lineair onafhankelijke oplossingen

Theorie Fannes

  1. Gegeven waar continu is in . De oplossing van deze vergelijking is de Besselfunctie van de eerste soort van orde n. Men kiest ook vaak een normalisatie .
    • Leidt af dat analoog als in de cursus 12.3.1
    • Bewijs dat de functie genormaliseerd is, zodat
    • Leidt nu de de Fourrierreeks af voor de uitdrukking
  2. Gegeven
    • Bewijs dat dit een reguliere Sturm-Liouville operator is
    • Wat is het natuurlijk scalair product geassocieerd met deze operator
    • Bewijs dat bij dit scalair product de gegeven operator Hermitisch is.

Oefeningen

  1. Gegeven een stelsel van differentiaalvergelijkingen en
    • Zoek de kritieke punten, Geef aard en stabiliteit
    • Maak een faseportret en wat is het gedrag op lange termijn?
  2. Beschouw de PDV: met randvoorwaarden voor en voor .
    • Toon aan dat dit voldoet aan een Sturm-Liouville probleem. Gebruik scheiden van veranderlijken: stel en toon aan dat de je zo het volgend stelsel komt: en
    • Toon grafisch aan dat er oneindig veel eigenwaarden zijn.
    • Zoek de oplossing voor deze differentiaalvgl met beginvoorwaarde

21 januari 2008 (NM)

Theorie Van Assche

  1. Een stelsel oplossen met behulp van Jordanketens en hetzelfde stelsel ook oplossen met de methode.
  2. Twee slingers die verbonden zijn met een veer, stel de vergelijkingen op, hoe zet je dit om naar een eerste orde probleem en bespreek het kritieke punt (0,0,0,0) voor m_1=1, m_2=1, k=1, L=g.

Theorie Fannes

  1. Bepaal de divergentie van een vectorveld in poolcoördinaten met behulp van de Stelling van Gauss.
  2. Los de Laplacevergelijking op en bereken de kern van het positieve halfvlak van . Los de vergelijking wel op voor enkel oplossingen die gelijkmatig begrensd blijven. Bijvraag: in de cursus staat het voor een cirkel, kan je dit hieruit afleiden? (antwoord: ja, kies uw middelpunt op (0,R) en laat dit naar oneindig gaan.)

Oefeningen

  1. Beschouw
    • geef de oplossing van de indiciële vergelijking
    • geef de recursie betrekking van de coëfficiënten van de oplossing mbv frobenius.
    • geef de tweede lineair onafhankelijke oplossing
  2. Warmtevergelijking op een staafje, niet-homogeen: .
    • Bereken de stationaire oplossing.
    • Bereken de algemene oplossing.

15 januari 2008 (VM)

Theorie Van Assche

  1. De twee veren (F) zijn identieke harde veren. Het apparaat A zorgt voor een repulsief effect evenredig met de uitwijking.
    • Bepaal de kritieke punten en onderzoek de aard van de kritieke punten.
    • Wat is het verschil met de wet van Hooke.
  2. Beschouw het volgende stelsel van differentiaalvergelijkingen:

.

    • Los het op met de eigenwaardemethode.
    • Los het op met de exponentiële van een matrix.

Theorie Fannes

  1. De vergelijking moet opgesteld en opgelost worden. De situatie is een schijf met straal R; u is de hoeveelheid massa per oppervlakte-eenheid en g is de hoeveelheid oppervlakte per oppervlakte-eenheid en per tijdsheid. Men mag rotatiesymmetrie veronderstellen voor g en u, de beginvoorwaarde en de randvoorwaarde.
    • Leidt de continuïteitsvergelijking af, door een ring te beschouwen.
    • Geef de wet van Fick en gebruik deze om de bovenstaande vergelijking af te leiden.
    • Zoek de stationaire oplossing, als de randvoorwaarde u(R)=0 is.
  2. Je hebt twee concentrische cilinders met stralen . Bereken de elektrische potentiaal die voldoet aan de Laplacevergelijking. Zodat .

Oefeningen

  1. Beschouw
    • geef de oplossing van de indiciële vergelijking
    • geef de recursie betrekking van de coëfficiënten van de oplossing mbv frobenius
    • geef de 2de lineair onafhankelijke oplossing
  2. zij en met Q en P hebben continu partiële afgeleiden.
    • toon aan dat indien

er geen niet-constante periodieke functies als oplossingen zijn (hint: een niet-constante periodieke functie definieert een gesloten kromme in het xy-vlak, Pas de stelling van Green toe op een gepast vectorveld)

    • neem
      • de oorsprong is een evenwichtspunt; onderzoek de stabiliteit.
      • Laat zien dat er een niet constante periodieke functies(hint: ga over op poolcoördinaten)

15 januari 2008 (NM)

Theorie Van Assche

  1. Drie communicerende vaten waarbij de hoeveelheid vloeistof behouden blijft (hier is tekeningetje en verhaaltje bij over bier). Dus 3 vaten, in elk 100 liter vloeistof, noem x1,x2,x3 de hoeveelheid alcohol in elk vat. Vat 1 is verbonden met 2, 2 met 3 en 3 met 1, elk geeft 10 liter vloeistof door.
    • Stel differentiaalvergelijkingen op voor dit systeem.
    • Toon aan dat x1+x2+x3 constant is.
    • Stel bij begin: x1=1,x2=2 en x3 =1. Bespreek het gedrag van x1,x2 en x3 als .
  2. In een tuin leven bladluizen en lieveheersbeestjes. In afwezigheid van insecticide volgen deze twee soorten een Lotka-Volterra model. Nu sproeien we insecticide in de tuin zodat een constant percentage c van beide soorten sterft (, waar de groeiparameter van de bladluizen is in het Lokta-Volterra model). Stel een stelsel van differentiaalvergelijkingen op en bespreek de evolutie van beide soorten met en zonder insecticide.

Theorie Fannes

  1. De functie is de oplossing van de vgl die niet singulier is in nul met en . Stel .
    • Pas Laplacetransformatie toe op de vergelijking om een differentiaalvgl te vinden waar aan voldoet (zoals in de cursus gedaan is voor ).
    • Toon aan dat .
  2. Los de warmtevergelijking op op een tweedimensionale torus met een willekeurige beginvoorwaarde die "braaf genoeg" is. De punten op een torus worden geparametriseerd door twee hoeken en waarbij een hoek de hoek is die gemeten wordt "in de cirkel die de torus zelf is" en de andere de hoek is die gemeten wordt in de cirkel die de dwarsdoorsnede vormt. Aanwijzing: de laplaciaan op een torus is .

Oefeningen

  1. Gegeven de vgl
    • Toon aan dat met een oplossing is van de homogene vergelijking.
    • Neem en stel zo een vergelijking op voor u.
    • Geef de algemene oplossing voor .
  2. Gelijkaardige oefening aan 13.6. Touwtje dat trillingen ondergaat. En (+ nog 2 beginvoorwaarden).
    • Leid eerst een stationaire oplossing af.
    • Definieer . Leid de differentiaalvergelijking voor af met bijhorende rand-/beginvoorwaarden.
    • Bepaal de de algemene oplossing van .
    • Wanneer is maximaal ?

Academiejaar 2006-2007

29 augustus 2007

Theorie Van Assche

  1. Niet lineair stelsel: kritieke punten vinden, aard van kritieke punten onderzoeken, richtingsveld schetsen.
  2. Gegeven de differentiaalvergelijking
    • Zoek een machtreeksoplossing rond .
    • Hoe vind je een tweede lineair onafhankelijke oplossing?
    • Geef de eerste termen van die oplossing.

Theorie Fannes

  1. Een bol met straal 1 wordt ondergedompeld in een temperatuursbad met temperatuur 1. De bol produceert een constante hoeveelheid warmte per volumeeenheid.
    • Geef de differentiaalvergelijking die deze situatie beschrijft.
    • Wat is een stationaire oplossing?
    • Hoe vind je in principe een algemene oplossing voor de differentiaalvergelijking. (niet uitwerken, gewoon zeggen hoe je het zou doen. Hoe vind je de homogene oplossing en welke particuliere oplossing gebruik je?)
  2. Geef de Laplacetransformatie van de "zaagtandfunctie". (oef 7.2.37)

Oefeningen

  1. Een deeltje beweegt op de x-as volgens .
    • Bewijs dat een constante is voor de beweging
    • Toon aan dat als en dat de limiet voor t oneindig oneindig is
    • Los de vergelijking op voor en
  2. Een trillende snaar met demping evenredig met de snelheid. geef de oplossing voor een gegeven beginvoorwaarde f(x). Dit was oefening 9.6.21 in den boek. Daar staat ook stap voor stap uitgelegd hoe je het moet oplossen. Die hints werden op het examen niet gegeven...

20 augustus 2007

Theorie Van Assche

  1. In het bos van Heverlee leven fazanten volgens een logistiek bevolkingsmodel. Omwille van de jacht verdwijnen er per jaar fazanten.
    • Stel de vergelijking op die dit systeem beschrijven en leg uit
    • Onderzoek het gedrag van de vergelijking voor [Ik neem aan dat dit moet zijn] zonder de vergelijking op te lossen. Je mag aannemen dat h voldoende klein blijft. Bijvraag: teken dit in een faseportret
    • Stel nu dat toeneemt, wat is de kritieke waarde, en wat gebeurd er als die overstijgt?
  2. Gegeven een stelsel:
    • Los dit stelsel op met behulp van de methode van de eigenwaarden. Leg ook uit hoe deze methode werkt.
    • Vorm dit stelsel om tot een tweedegraadsvergelijking en los het op.
    • Bespreek en vergelijk de uitkomsten.

Theorie Fannes

  1. Een oneindig lange, radioactieve cilinder wordt uit een reactor gehaald. Daarna wordt hij in een ijsbad van 0 graden gedompeld, zodat de wanden ermee in goed geleidend contact staan. Omwille van de radioactiviteit wordt er per volume-eenheid een constante hoeveelheid warmte opgewekt. Neem aan dat het probleem onafhankelijk is van de z-coordinaat, zodat we in essentie een 2D probleem hebben
    • Geef de vergelijking die dit systeem beschrijft en leg uit.
    • Wat is de evenwichtssituatie?
    • Hoe kan men in principe deze vergelijking oplossen?
  2. Sturm-Liouville probleem: . Met (en alle voorwaardes voor continuiteit en afleidbaarheid voldaan). Neem het natuurlijke inproduct.
    • Bewijs dat , en leidt hieruit af dat de eigenwaarden ook groter zijn dan of gelijk zijn aan nul.
    • Bewijs dat als en slechts als . Bewijs dat er alleen positieve eigenwaarden zijn.
    • Stel we kiezen , wat is de kleinst mogelijke eigenwaarde voor dit probleem?

3 februari 2007

Theorie Van Assche

  1. In het bos van Heverlee leven konijnen, vossen en katten. In afwezigheid van konijnen leven vossen en katten volgens een Malthus-populatiemodel, zonder interactie. In afwezigheid van vossen leven konijnen en katten volgens een Lotka-Volterra-model, en in afwezigheid van katten leven konijnen en vossen eveneens volgens een Lotka-Volterra-model.
    • Stel een systeem van differentiaalvergelijkingen op dat de evolutie van de populaties vossen, katten en konijnen beschrijft.
    • Het punt is een kritiek punt van dit systeem: wat is de aard van dit kritieke punt?
    • Bepaal alle andere kritieke punten. Wat kan je over deze andere kritieke punten vertellen?
  2. Bekijk de differentiaalvergelijking .
    • Een oplossing van deze differentiaalvergelijking wordt gegeven door . Leid een tweede orde differentiaalvergelijking af waarmee twee andere oplossingen van de gegeven differentiaalvergelijking kunnen worden bepaald (lineair onafhankelijk van de gegeven oplossing).
    • Hoe los je deze tweede orde differentiaalvergelijking op met behulp van machtreeksen? (Bijvraagje: wat is de convergentiestraal van de machtreeksoplossing die je bekomt?)

Theorie Fannes

  1. Twee kleine vraagjes over de gradiënt van een scalair veld.
    • Toon aan dat een gradientveld een conservatief vectorveld is (cfr. opgave in de cursus).
    • Hoe bepaal je de -component van de gradiënt in bolcoördinaten? (cfr. opgave cursus)
  2. Zij een compact oppervlak in . Zij de klasse van scalaire velden die voldoen aan de volgende eigenschappen: is eenmaal continu differentieerbaar in , de eerste en tweede afgeleiden van kunnen continu worden uitgebreid tot op de rand van , en wordt nul op . Definieer voor alle functies en uit de klasse . Toon aan dat voor alle en in , en bewijs dat de eigenwaarden van de operator strikt positieve reële getallen zijn.

2 februari 2007

Theorie Van Assche

  1. Beschouw het volgende stelsel van differentiaalvergelijkingen: . Bepaal de oplossing met behulp van de eigenwaarde methode, en ook met behulp van de matrix-exponentiële functie.
  2. Beschouw de differentiaalvergelijking .
    • Twee oplossingen van deze vergelijking worden gegeven door en . Zoek een differentiaalvergelijkingen van de tweede orde waaraan een derde oplossing , lineair onafhankelijk van de vorige twee oplossingen, voldoet.
    • Bestaat er een eerste orde differentiaalvergelijking waaraan voldoet?

Theorie Fannes

  1. Beschouw een dun staafje met lengte waarvan de eindpunten op temperatuur worden gehouden. De lokale temperatuur voldoet aan , met de warmte die "aangevoerd" wordt. Zij de beginverdeling van de temperatuur. Zoek de oplossing . Begin door te schrijven als .
  2. Middelwaardestelling voor harmonische functies in 3D.

30 januari 2007

Oefeningen

  • Er zijn zieke dieren, gezonde dieren met korte immuniteit en gezonde dieren die vatbaar zijn voor ziekte.
    • x'=-axy+cz
    • y'=axy-by
    • z'=by-cz
  1. Welke soort is x,y,z? Verklaar de termen
  2. Laat zien dat x+y+z=N constant is.
  3. Neem a=b=c=1 en N=9. Herleid dit stelsel tot een stelsel met 2 veranderlijken. Bepaal de evenwichten
  4. Bepaal de stabiliteit van de evenwichten
  • Golfvergelijkinge: 1D horizontale snaar met zwaartekracht.
    • randvoorwaarden: u(0,t)=u(L,t)=0 t>0
    • beginvoorwaarden: u(x,0)=f(x), 0<x<L
    • Gebruik scheiding van veranderlijken

29 januari 2007

Theorie Van Assche

  1. Gegeven een linear stelsel. Er werd gevraagd de Wronskiaan te berekenen en hoe hij gebruikt kan worden om het stelsel op te lossen
  2. Er leven 3 soorten samen: eekhoorns, konijnen en vossen. In afwezigheid van vossen leven eekhoorns en konijnen samen in een logistiek model en in afwezigheid van eekhoorns (konijnen) leven de vossen en konijnen (eekhoorns) in een jager-prooi model. Stel de vergelijkingen op en onderzoek de aard van het kritieke punt (0,0,0)

Theorie Fannes

  1. Zij een afbeelding gedefinieerd door . Hierbij is een functie die voldoet aan en . We definiëren op deze klasse van functies een inproduct .
    • Toon aan dat dit inproduct hermitisch is.
    • Toon aan dat enkel reële eigenwaarden heeft. Bewijs verder dat eigenfuncties behorende bij twee verschillende eigenwaarden orthogonaal zijn.
    • Laat zien dat enkel niet-negatieve eigenwaarden heeft.
  2. Warmtevergelijking in "3D". Beschouw de twee concentrische sferen, met respectieve stralen en waarbij . Op het boloppervlak van de binnenste sfeer wordt de temperatuur constant 0 gehouden, en op de buitenste sfeer een constante temperatuur . Op hangt de temperatuur enkel af van de voerstraal .
    • Vertaal dit naar wiskundige vergelijkingen.
    • Bepaal een stationaire oplossing (voor ).
    • Geef een algemene oplossing voor deze partiële differentiaalvergelijking.

Oefeningen

  1. Gegeven: . Geef de oplossingen van de indiciaalvergelijking, en een recursiebetrekking tussen de coëfficiënten. Geef dan twee lineair onafhankelijke Frobeniusreeksoplossingen.
  2. Beschouw een eendimensionale snaar met lengte die voldoet aan . De randvoorwaarden zijn u(0,t)=u(L,t)=0. Veronderstel hierbij dat .
    • Geef de oplossingen met gescheiden veranderlijken, dus van de vorm .
    • Geef de algemene oplossing als de beginvoorwaarden en zijn.
    • Wat is de rol van de voorwaarde ? Wat als ?

Academiejaar 2005-2006

Januari 2006

Theorie Van Assche

  1. populatie herten voldoet aan logistiek model, maar ook jaarlijks h herten afgeschoten: geef dvgl, bespreek gedrag als t-> infinity (zonder uit te rekenen!) als h klein, wat als h groot (hint van mezelf: blz 94!)
  2. Een stelsel met 4x eigenwaarde 2, hoe vind je 4 lin onafh opl

Theorie Fannes

  1. Fourier van Cauchyverdeling met
  2. Diffusievgl met rotatiesym: hoe zie je aan een bvw dat er een beperkt aantal deeltjes is? Leidt deze dvgl af: Iedereen heeft het met stelling van gauss gedaan, maar fannes is bij iedereen blijven doorvragen over een andere manier die meer fysisch was.

Oefeningen

  1. en : bewijs dat (0,0) enige krit punt is, leid dvgl voor af, wat is de aard van het krit punt (afh van )
  2. en ( is tweede part afg van u naar t). Opl via scheiding veranderelijken met rvw: en .
    Zoek dan alg opl als ook en
    Wat als ?

Augustus 2006

Theorie Van Assche

  1. Veersysteem.png
    • Bepaal de differentiaalvergelijking van dit systeem. Linkse veer is niet-lineair: . Rechtse veer is lineair met veerconstante k.
    • Bepaal het gedrag van het systeem als en .
  2. Gegeven is
    • Hoe vind je twee lineair onafhankelijke oplossingen?
    • Bepaal een eerste oplossing volledig (hint:veelterm)
    • Gebruik de eerste oplossing om een tweede te zoeken. Leg uit hoe.

Theorie Fannes

  1. Voor welke waarden van is de matrix positief definiet? Bereken voor dit geval de Fourriergetransformeerde van de functie .
  2. Diffusie binnen een bol van straal in . Begin- en randvoorwaarden zijn sferisch symmetrisch zodat de oplossing dezelfde sfeersymmetrie heeft. waar r de voerstraal is van het punt .
    • schrijf de PDF voor
    • geef de rechtstreekse afleiding van de PDV (hint: 1. totaal aantal deeltjes 2. verandering: deeltjes door wand 3. deeltjesstroom radiaal 4. wet van Fick + elimineer deeltjesstroom)
    • geef PDV voor g
    • geef een maximale lineair onafhankelijke familie van oplossingen met gescheiden veranderlijken voor de randvoorwaarde .

Oefeningen

  1. Populatie met gezonde, zieke en immune dieren voldoet aan volgend stelsel van DVs:
    1. Welke soort hoort bij welke variabele? Waarvoor staan de verschillende termen?
    2. Bewijs dat constant is.
    3. Stel . Herschrijf naar systeem met 2 vergelijkingen en geef de evenwichtsposities.
    4. Geef de stabiliteiten van deze evenwichtsposities.
  2. Snaar die langs de x-as loopt tussen en . Op wordt ze uitgerekt met uitwijking . De resulterende beweging voldoet aan de golfvergelijking.
    1. Los op met scheiding van veranderlijken. Geef de oplossing als een reeksoplossing.
    2. Welke speciale reeks krijg je voor met en ?