Algebraïsche structuren

Ga naar: navigatie, zoeken

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Algemene informatie

Algebraïsche structuren is een vak uit het tweede semester. Het vak werd in het academiejaar 2006-2007 voor het eerst gegeven aan studenten van 1e bachelor wiskunde en het is een keuzevak in de bachelor fysica. Tot het academiejaar 2008-2009 werd het vak gegeven door Raf Cluckers, sinds 2009-2010 is de docent Filip Cools. Vanaf 2014 werd het vak weer gegeven door professor Cluckers. Er is geen handboek, enkel een cursus, bestaande uit vijf hoofdstukken. Als leerstof wordt een inleiding gegeven tot groepentheorie (groepen, ringen, velden) en ook duale ruimtes en bilineaire vormen komen aan bod. Het vak bouwt gedeeltelijk voor op de leerstof van Lineaire Algebra.

Informatie over het examen

Het examen van het vak Algebraïsche Structuren bestaat uit twee delen:

  • theoriegedeelte: 10 punten - mondeling met schriftelijke voorbereiding,
  • oefeningengedeelte: 10 punten - schriftelijk, open boek

Je maakt eerst je theorievragen. Vanaf je je schriftelijke voorbereiding hebt ingediend mag je je cursus gebruiken. Tijdens het mondelinge gedeelte zal professor Cluckers uw antwoord beginnen lezen dat je hebt voorbereid (het is dus van belang dat je het goed en proper opschrijft!). Wanneer hij iets ziet dat niet juist is of als hij vindt dat er wat uitleg mankeert, zal hij je het vermelden en vragen om jezelf te corrigeren. Hij zal hier en daar nog een bijvraagje stellen om te zien in welke mate je de leerstof beheerst. Omdat de theorie op de helft van de punten van het examen staat, mag je ervan uitgaan dat als je de theorie goed gestudeerd hebt je minstens 8/10 voor theorie zal hebben (de bijvragen kunnen je het laatste paar punten kosten). De rest van het examen verloopt dan gewoon schriftelijk en staat ook op 10 van de 20 punten.

Examens

Academiejaar 2018-2019

Examen AS 27 Juni 2019

Examen AS 21 augustus 2019

Academiejaar 2017-2018

Examen AS 21 Augustus 2018

Academiejaar 2015-2016

Examen AS 22 juni 2016

Examen AS 23 juni 2016

Academiejaar 2013-2014

19 Augustus 2014

Examen AS 19 Augustus 2014

26 Juni 2014 (NM)

Examen AS 26 Juni 2014 (NM)

Academiejaar 2011-2012

20 augustus 2012 (NM)

Examen 20 augustus 2012 (NM)

28 juni 2012 (NM)

Examen AS 28 juni 2012 (NM)

27 juni 2012 (NM)

Examen AS 27 juni 2012 (NM)

25 juni 2012 (NM)

Examen AS 25 juni 2012 (NM)

Proefexamen 2012

Proefexamen AS 2012

Academiejaar 2010-2011

27 juni 2011

Examen AS 27 juni 2011.

Academiejaar 2009-2010

25 augustus 2010

De eerste drie vragen waren mondeling

  1. Zij een cyclische groep. Bewijs dat elke deelgroep van ook cyclisch is.
  2. Definieer de Eulerfunctie. Leid de formule voor af, waarbij een priemgetal is.
  3. Als een veld is, dan hebben alle element dezelfde additieve orde. Bovendien, als deze orde eindig is, is het een priemgetal. Bijvragen: waarom is , waarom is .
  4. Werk uit: .
  5. Bewijs dat niet voor alle congruent is met . (Tip: denk voor alle aan welke waarde de vergelijking aan kan nemen.
  6. Zij een groep met orde en zij .
    • Als gegeven is dat een commutatieve groep is en dat , bewijs dan dat een groepsisomorfisme is.
    • Is het noodzakelijk dat commutatief is? Zo ja, waarom? Zo nee, bewijs.
    • Is het noodzakelijk dat ? Zo ja, waarom? Zo nee, bewijs.
  7. Weet ik niet meer.

Academiejaar 2008-2009

20 augustus 2009

  1. Zij V de standaard reële vectorruimte en veronderstel dat allen verschillend van 0. Beschouw de kwadratische vorm
    • Zij standaardbasis van . Stel een matrix op, waar de Gramm-matrix is ten opzichte van van de bilineaire vorm geassocieerd aan .
    • Zij A de matrix van een lineaire afbeelding ten opzichte van , en zij zoals hierboven. Noteer in matrix-vorm (namelijk als product van matrices) , en met .
    • Definieer . Defininieer van een lineaire afbeelding als de determinant van de matrix die f definieert. Dit is onafhankelijk van de gekozen basis in V, maar dat hoef je niet aan te tonen. Toon aan dat voor elke geldt dat .
    • Definieer en . Zijn en deelgroepen van ? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. (De bewerking is de samenstelling)
    • Bereken voor alle in de vorige opgave gevonden deelgroepen de index in
    • Met de standaard duale basis van bedoelen we de duale basis geassocieerd aan de basis van met . Beschouw de basis van de -vectorruimte
      • Wat is toegepast op , waar a, b, c, d complexe getallen zijn?
      • Druk uit in termen van de standaard duale basis van
    • Beschouw de basis van de -vectorruimte . Druk uit in termen van de standaard duale basis van . (Deze standaard duale basis wordt op analoge wijze gedefinieerd als die voor .)
  2. Zij een natuurlijk getal. Geef en bewijs een criterium wanneer een element een multiplicatief inverse heeft. Schets een algoritme om zo'n invers te berekenen.

15 juni 2009

    • Beschrijf een werkwijze (een oplossingswijze, een algoritme, maar niet noodzakelijk efficiënt) om voor een gegeven symmetrische bilineaire vorm op een eindigdimensionale vectorruimte over een veld van karakteristiek verschillend van 2 een orthogonale basis te vinden. Geef ook kort aan waarom je oplossing werkt en wat je gebruikt.
    • Alternatieve vraag (voor 2 punten minder): Geef het bewijs voor orthogonaliseerbaarheid van zo'n bilineaire vorm op . Dus bewijs dat er een orthogonale basis bestaat voor deze met voorwaarden zoals gegeven hierboven.
  1. Beschrijf de theorie van Reed-Solomoncodes. (Herinnering: dit werkt met polynomen over een eindig veld van beperkte graad.)
  2. Bereken en ook voor , en . Schrijf goed op wat je gebruikt en waarom het mag!
  3. Voor een groep, noteer met de kleinste deelgroep van die omvat. Definieer analoog voor een groep . zij nu een groepshomomorfisme
    • Zij een deelgroep van . Toon aan dat een deelgroep is van .
    • Bereken in het geval dat een commutatieve groep is.
    • Geef een concreet voorbeeld waarbij niet gelijk is aan .
    • Veronderstel dat een niet-triviaal groepshomomorfisme is, in de zin dat het beeld uit meer bestaat dan alleen maar het neutraal element van . Geef dan (in deze algemene set-up) een voorbeeld van een niet-triviale linker-actie van op en toon aan dat het inderdaad aan de axioma's van linker-actie voldoet.

Academiejaar 2007-2008

26 juni 2008

  1. Beschouw de lineaire code over gegeven door de generatorsmatrix met
    • Bereken alle vectoren van
    • Bereken
    • Bij het doorsturen van informatie met deze code ontvang je . Je veronderstelt dat je alle gebeurde fouten kan verbeteren. Wat is dan de doorgestuurde boodschap? Leg je antwoord uit.
  2. Geef en bewijs de stelling Bézout-Bachet en de veralgemeende stelling van Bézout-Bachet.
  3. Wat is een bilineaire vorm op een vectorruimte? Leg uit.

25 juni 2008 (NM)

  1. Zij een groep waarin het neutraal element is. Voor alle geldt dat .
    • Bewijs dat G commutatief is.
    • Is G cyclisch? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
  2. Geef en bewijs de Chinese reststelling.
  3. Leg het radicaal uit van een K-bilineaire symmetrische ruimte V.

(Ik kreeg op de mondelinge verdediging dan nog de volgende bijvraag: Bestaat er een symmetrische bilineaire vorm op zodat voor alle ?)

25 juni 2008 (VM)

  1. Voor een noteren we met de verzameling van de -vouden. Het is eenvoudig in te zien dat dit een deelgroep is van (dit hoef je niet aan te tonen).
    • Toon aan dat elke deelgroep van geschreven kan worden als voor zekere .
    • Voor is ook een deelgroep van (dit is wederom eenvoudig, en moet je niet aantonen). Zoek een zodat .
  2. Geef en bewijs de structuurstelling (ook genaamd de hoofdstelling) voor symmetrische bilineaire vormen. (Herinnering: dit gaat over diagonaalmatrices).

24 juni 2008 (NM)

  1. Zij een commutatieve groep, met neutraal element . Beschouw twee deelgroepen en . We definiëren dan
    • Bewijs dat een deelgroep is.
    • Als en beide cyclisch zijn, is dan ook cyclisch? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
    • Veronderstel nu dat een eindige groep is, en dat . Bewijs dat de orde van een willekeurig element in kleiner dan of gelijk aan is.
  2. Geef en bewijs de stelling van Sylvester voor diagonaliseerbaarheid over .

24 juni 2008 (VM)

  1. Bereken voor een oneven natuurlijk getal n>1 en met ggd(a,10)=1 het voorlaatste cijfer in de decimale schrijfwijze van.
  2. Beschrijf de theorie van Reed-Solomoncodes.
  3. Geef en bewijs de veralgemeende stelling van Bezout-Bachet.

Academiejaar 2006-2007

5 september 2007

  1. Zij G,. een groep met neutraal element e. We definiëren Tor(G) als de verzameling van alle x in G met eindige orde in G.
    • Veronderstel dat G een eindige groep is, wat is dan Tor(G)?
    • Toon aan dat als G een abelse groep is, Tor(G) een deelgroep va G is.
    • Stel dat G een abelse groep is. Bereken dan Tor(G/Tor(G)). Geef en bewijs hierbij ook het resultaat uit de cursus dat een quotientgroep van een abelse groep wel degelijk een groepsstructuur heeft.
    • Beschouw een ring R,+,. waarvoor geldt Tor(R,+)={0}. Toon aan dat er een voor zo'n ring een ringhomomorfisme bestaat
  2. Beschouw de standaard 4 dimensionale vectorruimte over
    • zij willekeurig. Bewijs dat een basis vormt
    • Druk de duale basis uit in termen van de standaardbasis
    • Geef een definitie van duale ruimte. Met welke gekende vectorruimte is isomorf. Als je hierbij een stelling uit de cursus gebruikt, vermeld deze dan nauwkeurig.
  3. In deze opgave bekijken we enkele eigenschappen van ringen
    • in geldt dat een veelterm van graad n maximaal wortels heeft. Is dit ook zo voor een ring? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
    • Geef alle oplossingen van de vergelijking in
    • Neem 3 willekeurige getallen a,b en p met p een priemgetal. Bewijs dan dat juist een oplossing heeft als en slechts als

27 juni 2007

    • Geef en bewijs de congruentie van Euler en toon aan hoe je hieruit de Kleine Stelling van Fermat kunt halen.
    • Is de volgende redenering correct: Neem de vergelijking = 1 mod 17 voor . Omdat ggd(3,17)=1 en geldt mod 17. Dus n is een oplossing van de vergelijking als en slechts als n = 0 mod 16 . Indien de redenering niet juist is, geef dan de correcte oplossingsverzameling.
    • Zij een groep waarvan alle elementen orde 1 of 2 hebben. Bewijs dat abels is.
    • Is isomorf met ? (Ik denk dat hier wat "gegevens" ontbreken, vb G kan ook alleen e bevatten enz, kdenk dat er bij moet staan orde G >=2)
    • Zij en twee priemgetallen met , zodanig dat priem is.
    • Bewijs dat
    • Bestaat de inverse van in (of: geef de inverse?)
    • Bereken in .
  1. Bereken in :
  2. Zij een n x n matrix over een eindig veld met karakteristiek met p een priemgetal, bewijs dat als er n verschillende eigenwaarden zijn van die allemaal in zitten.
    • geef de definitie van een linker groepactie.
    • Definieer de afbeeldingen en . Dan vormt een groep met als bewerking de samenstelling van functies. Definieer nu de afbeelding door en Dan is een linker groepsactie. Definieer nu . Toon aan dat een lineaire deelruimte is van beschouwd als reele vectorruimte.
    • Vul de verzameling aan tot een verzameling die zowel een basis is van de reele vectorruimte als van de complexe vectorruimte .
    • Neem nu als basis van . Schrijf de afbeeldingen in als lineaire combinaties van de afbeeldingen in de standaard duale basis van . Dit is de duale basis geassocieerd aan de basis van .

Proefexamen 2007

Opgaven en oplossingen.