Algebraïsche topologie

Ga naar: navigatie, zoeken

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Informatie over het examen

Dit vak wordt tweejaarlijks gegeven door K. Dekimpe.

Examenvragen

Juni 2012

Vanaf dit jaar staat er copyright op het examen. Het examen is mondeling en open boek met +/- 1 uur voorbereiding. De structuur van het examen is nog steeds hetzelfde:

  • Een oefening uitwerken (meestal de fundamentaalgroep of de homologie van een ruimte berekenen)
  • Een theorievraag (meestal een bewijs uit de cursus uitleggen of uitwerken)
  • Twee willekeurig gekozen taakjes verdedigen
  • Enkele 'snelheidsvraagjes'

Juni 2010

1

  • opdracht V en VI,
  • Is S1 x {x_0} een retract van S1 x S1? een deformatieretract?
    • bijvraag: wat met S^n x {x_0} en S1 x S^n
  • Seifert en Van Kampen, classical version bewijzen

2

  • Opdracht II en IX
  • Bereken alle homologiegroepen van een ellips met n gaten in (n kleine ellipsen er uit geknipt)
    • Bijvraag: wat als we uit een bol n ellipsjes verwijderen
  • Bewijs stelling 81.5 uit Munkres
  • Kleine vraagjes
    • Wat is homotopie-equivalentie
    • Wat is een padhomotopie
    • Hoe is f_* op H_n gedefinieerd
    • Wat is een equivalentie van overdekkingsruimtes

3

  • Taken II en VII
  • Stelling 59.1 uit Munkres uitleggen
    • bijvraag: geldt die stelling ook als U en V niet open zijn.
  • bereken de homologie van een "parachute", i.e. neem een driehoek en identificeer de hoekpunten van deze driehoek met elkaar tot 1 punt. Wat verwacht je als homologie van een parachute gemaakt door de hoekpunten van een regelmatige n-hoek te identificeren. ( is niet moeilijk, maar mss lastig om bepaalde stappen te zien)
  • Kleine vraagjes:
    • wat is een padhomotopie
    • wat is een overdekkingstransformatie
    • f:X->Y continu, wat is f_{*}: H_n(X) -> H_n(Y) ?

4

  • Twee taken uitleggen
  • Verklaar Stelling 1.12 uit de homologieblaadjes (dus leg het bewijs uit) en wat geldt hiervan voor fundamentaalgroepen
  • Figuur 8 ruimte: bereken de homologie, noem A 1 van de cirkels: is A een retract van de figuur 8 ruimte? is A een deformatieretract van de figuur 8 ruimte?
  • kleine bijvraagjes:
    • wat is een padhomotopie
    • wat is een overdekkingstransformatie
    • f:X->Y continu, wat is f_{*}: H_n(X) -> H_n(Y) ?

22 augustus 2008

  • Bespreek twee van de werkjes. (Kaartje trekken... hier en daar pittige bijvragen!)
  • Bekijk Corollary 1.12 uit de cursustekst over singuliere homologietheorie
    • Werk het bewijs van Corollary 1.12 verder uit.
    • Kan je een analogon formuleren (en bewijzen) voor de fundamentaalgroep?
  • We bewijzen dat elke groep G die vrij ageert op de sfeer S^2 triviaal is of isomorf is met Z/2Z. Werk volgende stappen uit:
    • Aan elk element g van G kunnen we een homeomorfisme m_g: S^2 -> S^2 associëren.
    • We hebben een groepsmorfisme f: G -> {1, -1}: g -> deg(m_g).
    • Elk niet-triviaal element van G wordt door f afgebeeld op -1.
    • Bijgevolg is G triviaal of isomorf met Z/2Z.
      • Bijvragen: wat gebeurt er met S^n met n even? n oneven?
  • Leg de volgende begrippen bondig uit (zonder voorbereiding + hier en daar bijvraagjes).
    • Begrippen: overdekkingsprojectie, enkelvoudig samenhangend (is R \ Z enkelvoudig samenhangend? geef fundamentaalgroep), deformatieretract, homotopie-equivalentie, ...


Examen januari 2007

Prof: Karel Dekimpe Aard: mondeling, open boek Puntenverdeling: 10 punten op werkjes, 5 op een theorievraag, 5 op een soort oefening

In het begin van het examen moet je 3 papiertjes trekken. Eén papiertje bevat 2 getallen tussen 1 en 10, één getal tussen 1 en 5, één tussen 6 en 10. De werkjes met die nummers moet je dan mondeling verdedigen bij Dekimpe. De overige werkjes kijkt ie nadien nog es na, en als er echt iets mis mee is, corrigeert hij achteraf de punten nog. Op het tweede papiertje vind je een theorievraag, en op het derde een oefening.

Het examen is eigenlijk niet zo heel moeilijk ;)

Voorbeeld:

Werkjes: 2 en 9

Theorievraag: verduidelijk punten (2) en (3) van Stelling 51.2 p. 326 in het boek van Munkres

Oefening: zij de torus, zij het projectieve vlak. Bestaat er een overdekkingsprojectie  ? Bestaat er een overdekkingsprojectie  ? Geef een voorbeeld van een boogsamenhangende ruimte met fundamentaalgroep isomorf met .

Examen januari 2006

Examenvragen Tweede Licentie Wiskunde: Algebraïsche Topologie: 1. Bewijs stelling 81.5 uit het boek van Munkres door alle details aan te vullen en de tussenstappen te verklaren. 2. "Werk de details van het volgende bewijs uit." Een Vrije actie van een groep op de sfeer is enkel mogelijk indien de groep triviaal is of isomorf met de groep . 3. Verklaar een deel van de opgegeven opdrachten.