\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\m}{m}
\DeclareMathOperator{\dd}{d}
\DeclareMathOperator{\vct}{vct}

\author{$\in$ Wina}
\date{Aanstaande Maandag}
\title{Examen Lineaire Algebra 2020 (Wiskunde/Fysica)}

\begin{document}

\maketitle

\section{Vraag 1}  % 10 pt
Zij $L: V\to V$ een lineaire transformatie, waarvan de karakteristieke  ontbindt in eerstegraadstermen en waarvan voor elke eigenwaarde $\lambda$ geldt dat $\dd(\lambda)=\m(\lambda)$. Bewijs dat $L$ diagonaliseerbaar is. 
\section{Vraag 2}  % 5 pt
Bewijs de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.
\section{Vraag 3} 
Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. 
\begin{enumerate}
  \item Zijn $W_1$, $W_2$ en $W_3$ deelruimtes van $v$. Als $W_1\oplus W_2=V$ en $W_1\oplus W_3=V$, dan is  $W_2=W_3$.  % Ik weet dat de meeste mensen 'zij' zouden schrijven i.p.v. 'zijn', maar de meeste mensen zijn dom (mijn nederige mening). Ik ben er echter van overtuigd dat het meervoud 'zijn' is, ook in de conjunctief (Zoek het op!). Voorlopig blijf ik dit dus nog even volhouden. 
  \item Als de matrix $A\in \C^{n\times n}$ enkel reële nulpunten heeft, dan geldt ook $A\in \R^{n\times n}$.
  \item Zijn $f_1$ tot en met $f_5$ lineaire transformaties zoals in volgend diagram: $$\left\{0\right\} \xrightarrow{f_1} \R^{n} \xrightarrow{f_2} \R^{8} \xrightarrow{f_3} \R^{13} \xrightarrow{f_4} \R^{6} \xrightarrow{f_5} \left\{0\right\}$$ 
    Als $\ker f_{i+1}=\operatorname{Im} f_i$ geldt voor elke $i\in \left\{1, 2, 3, 4\right\} $, dan is $n=1$. 
    Er stond nog een hint bij deze vraag, maar daarvoor moet je bijbetalen. 
\end{enumerate}

\section{Vraag 4}
Definieer $f: \R\to\R: x\longmapsto 1$, $g: \R\to\R: x\longmapsto x$ en $h: \R\to\R: x\longmapsto e^{x}$. Zij $V$ dan de vectorruimte $\vct \left\{f, g, h\right\}$. Definieer vervolgens de lineaire transformatie $D: V\to V$ als volgt: % 'Definieer' zonder trema, zoals het hoort. 
\[ D(k)=ak+bk'+k''  \] 
Voor elke $k\in V$ en met $a, b\in \R$
\begin{enumerate}
  \item Geef $\dim \ker D$ in functie van $a$ en $b$.
  \item Bepaal alle $a$ en $b$ zodat $D$ diagonaliseerbaar is in $\R$
\end{enumerate}

\section{Vraag 5}
Zij $V$ een eindigdimensionale vectorruimte met dimensie $n$. Als $1\le k\le n$, en $U_1, ..., U_k$ verschillende deelruimtes zijn van $V$, met elk dimensie $n-1$
 \begin{enumerate}
 \item Bewijs dan dat $\dim \left(U_1\cap U_2 \cap \ldots \cap U_k\right)\ge n-k$
 \item Toon met een voorbeeld aan dat gelijkheid hier niet altijd hoeft te gelden. 
\end{enumerate}

\end{document}

% Als ge veel te veel tijd hebt: bezoek eens 
% https://castel.dev/
% echt leuk
