\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\m}{m}
\DeclareMathOperator{\dd}{d}
\DeclareMathOperator{\vct}{vct}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\author{$\in$ Wina}
\date{Aanstaande Maandag 2020}
\title{Examen Lineaire Algebra 2020 (Wiskunde/Fysica)}

\begin{document}

\maketitle

\section{Vraag 1}  % 10 pt
Zij $(\mathbb{R},V,+)$ een eindigdimensionale vectorruimte en $L: V\to V$ een
lineaire transformatie. Veronderstel dat de karakteristieke veeltem $\rho$
volledig ontbindt over $\mathbb{R}$  als een product van eestegraadsfactoren. Veronderstel ook dat voor elke eigenwaarde $\lambda$ van $L$ de meetkundige mulitpliciteit $\dd(\lambda)$ gelijk is aan de algebraische multipliciteit $\m(\lambda)$. Bewijs dat $L$ diagonaliseerbaar is. 
\section{Vraag 2}  % 5 pt
Zij $(\mathbb{R},V,+,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ een inproductruimte. Bewijs de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.
\section{Vraag 3} 
Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. 
\begin{enumerate}
  \item Zijn $W_1$, $W_2$ en $W_3$ deelruimtes van de vectorruimte $v$. Als $W_1\oplus W_2=V$ en $W_1\oplus W_3=V$, dan is  $W_2=W_3$.  % Ik weet dat de meeste mensen 'zij' zouden schrijven i.p.v. 'zijn', maar de meeste mensen zijn dom (mijn nederige mening). Ik ben er echter van overtuigd dat het meervoud 'zijn' is, ook in de conjunctief (Zoek het op!). Voorlopig blijf ik dit dus nog even volhouden. 
  \item Zij $A\in \C^{n\times n}$. Als alle eigenwaarden van A reëel zijn, dan is $A\in \R^{n\times n}$.
  \item Zijn $f_1$ tot en met $f_5$ lineaire transformaties zoals in volgend diagram: $$\left\{0\right\} \xrightarrow{f_1} \R^{n} \xrightarrow{f_2} \R^{8} \xrightarrow{f_3} \R^{13} \xrightarrow{f_4} \R^{6} \xrightarrow{f_5} \left\{0\right\}$$ 
    Als $\ker f_{i+1}=\operatorname{Im} f_i$ geldt voor elke $i\in \left\{1, 2, 3, 4\right\} $, dan is $n=1$. 
    Er stond nog een hint bij deze vraag, maar daarvoor moet je bijbetalen. 

    Edit (door de informaticastudent): bepaal achtereenvolgens $\dim\Ker f_5$,$\dim\Ker f_4$,... En neem daarna mee aan de Ulysis CTF ;) % Zet die dim en
    % Ker eens meee in de vergelijking! Foei!
\end{enumerate}

\section{Vraag 4}
Definieer $f: \R\to\R: x\longmapsto 1$, $g: \R\to\R: x\longmapsto x$ en $h: \R\to\R: x\longmapsto e^{x}$. Zij $V$ dan de vectorruimte $\vct \left\{f, g, h\right\}$. Definieer vervolgens de lineaire transformatie $D: V\to V$ als volgt: % 'Definieer' zonder trema, zoals het hoort. 
\[ D(k)=ak+bk'+k''  \] 
Voor elke $k\in V$ en met $a, b\in \R$
\begin{enumerate}
  \item Geef $\dim \ker D$ in functie van $a$ en $b$.
  \item Bepaal alle $a$ en $b$ zodat $D$ diagonaliseerbaar is in $\R$.
\end{enumerate}

\section{Vraag 5 (Fysica)}
Zij $V$ een eindigdimensionale vectorruimte met dimensie $n$. Als $1\le k\le n$, en $U_1, ..., U_k$ verschillende deelruimtes zijn van $V$, met elk dimensie $n-1$
 \begin{enumerate}
 \item Bewijs dan dat $\dim \left(U_1\cap U_2 \cap \ldots \cap U_k\right)\ge n-k$
 \item Toon met een voorbeeld aan dat gelijkheid hier niet altijd hoeft te gelden. 
\end{enumerate}

\section{Vraag 5 (Informatica)}
Definieer $V: {A\in \R^{n\times n} | Tr(A)=0}$
\begin{enumerate}
	\item Toon aan dat V een deelruimte is van $\R^{n\times n}$
	\item Bepaal een basis van V
	\item Definieer L: $\R^{2\times 2}  ->  \R^{2\times 2}: \begin{array}{cc}
	a & b \\ 
	c & d
	\end{array}  ->  \begin{array}{cc}
	c & d \\ 
	a & -b
	\end{array}$ en stel W = L(V). Bepaal een basis van $V\cap W$.
\end{enumerate}

\end{document}

% Als ge veel te veel tijd hebt: bezoek eens 
% https://castel.dev/
% echt leuk
