\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\m}{m}
\DeclareMathOperator{\dd}{d}
\DeclareMathOperator{\vct}{vct}

\author{Informatici}
\date{Vandaag}
\title{Examen Lineaire Algebra 25 Januari 2021}

\begin{document}

\maketitle

\section{Vraag 1}
Als $(\mathbb{R},V,+)$ en $(\mathbb{R},W,+)$ vectorruimten zijn, waarvan $V$ eindigdimensionaal is, en als $L: V \rightarrow W$ een lineaire afbeelding is, dan geldt dat:
\[
\textrm{dim}_{\R}V = \textrm{dim}_{\R}(\textrm{ker} L) + \textrm{dim}_{\R}(\textrm{Im} L)\textrm{.}
\]

\section{Vraag 2} 
Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. 
\begin{enumerate}
  \item Als voor twee matrices $A, B \in \R^{n\times n}$ geldt dat $AB = BA = 0$, dan is $(A+B)^{k} = A^{k} + B^{k}$, voor alle natuurlijke getallen $k\geq 1$.
  \item Zij $L: V \rightarrow V$ een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte $(\mathbb{R},V,+)$. Dan geldt voor twee willekeurige verschillende eigenwaarden $\lambda_1$ en $\lambda_2$ van $L$ dat \[
  E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2} = \{v\in V\ \vert\ L(v) = \lambda_{1}v\ \textrm{of}\ L(v) = \lambda_{2}v \}\textrm{.}
  \]
  \item Als $A \in \R^{n\times n}$ een symmetrische matrix is met karakteristieke veelterm $\varphi_A(X) = (X-1)^{n}$, dan is $A$ de eenheidsmatrix van dimensie $n$.

\end{enumerate}

\section{Vraag 3 (Informatica)}
Gegeven $\alpha \in \R$ en een lineaire afbeelding $L_\alpha : \R^3 \to \R^3: L_\alpha(x, y, z) = (y, \alpha x + z, 2y)$.
Voor welke waarden van $\alpha$ is $L_\alpha$ diagonaliseerbaar over $\R$? En voor welke waarden van $\alpha$ is $L_\alpha$ diagonaliseerbaar over $\C$?


\end{document}

% Als ge veel te veel tijd hebt: bezoek eens 
% https://wina.be/
% echt leuk