\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\title{Examen Lineaire Algebra januari 2022}
\author{Een Vaesliefhebber}
\date{Januari 2022}

\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,}
\newcommand{\vct}[1]{\mathrm{vct}\{#1\}}
\newcommand{\rang}{\mathrm{rang}\,}

\begin{document}
	
	\maketitle
	
	\section{Vraag 1}
	
	Zij $L : V \to V$ een lineaire transformatie en $\lambda$ een eigenwaarde van $L$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Wat verstaan we onder de meetkundige multipliciteit $d(\lambda)$ en de algebraïsche multipliciteit $m(\lambda)$ van $\lambda$?
		
		\item Bewijs dat $1 \leq d(\lambda) \leq m(\lambda)$.
	\end{enumerate}
	
	\section{Vraag 2}
	
	Waar of fout? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld. 
	
	\begin{enumerate}
		\item Zij $L : \mathbb{R}^2 : \mathbb{R}^2$ een lineaire transformatie, Zij $v, w \in \mathbb{R}^2$ verschillend van de nulvector zodat $\ker L = \vct{v}$ en $\Im L = \vct{w}$. Dan vormen $v$ en $w$ een basis voor $\mathbb{R}^2$.
		
		\item Zij $A, B \in \mathbb{R}^{3\times3}$ zodat $AB = 0$. Dan is $\rang A + \rang B \leq 3$.
		
		\item Zij $v \in \mathbb{R}^n$ verschillend van de nulvector. Dan is de verzameling
		
		\begin{equation*}
			\{A \in \mathbb{R}^{n\times n} \mid v \text{ is een eigenvector van } A\}
		\end{equation*}
		
		een deelruimte van $\mathbb{R}^{n\times n}$.
	\end{enumerate}
	
	\section{Vraag 3}
	
	Beschouw de lineaire afbeelding $L_A : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 : X \mapsto AX$ waarin we de vectoren $X \in \mathbb{R}^3$ beschouwen als kolomvectoren. Neem  ook $W_1 = \mathrm{vct} \Bigg\{ \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \Bigg\} $ en $W_2 = \mathrm{vct} \Bigg\{ \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \Bigg\} $.\\
	
	Neem dan de verzameling
	
	\begin{equation*}
		W = \{A \in \mathbb{R}^{3\times3} \mid L_A(W_1) \subset W_1 \text{ en } L_A(W_2) \subset W_2 \}
	\end{equation*}
	
	\begin{enumerate}
		\item Toon aan dat $W$ een deelruimte van $\mathbb{R}^{3\times3}$ is.
		\item Bepaal een basis en dimensie voor $W$. 
	\end{enumerate}
	
\end{document}
