\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage[rightcaption]{sidecap}

\title{Examen AN I 2025}
\date{24 januari 2021}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}[label=(\alph*)] 
    \item Geef de definitie voor het traagheidsmoment.
    \item Beschrijf in eigen woorden de betekenis van het woord traagheidsmoment.
    \item Geef de stelling van Steiner en bewijs.
    \item Gegeven is een homogene schijf van straal $R$ en massa $M$ met een rotatieas door het massacentrum en loodrecht op het oppervlak. Bepaal het traagheidsmoment van de schijf in functie van $M$ en $R$.
    \item Beschouw nu diezelfde schijf, maar met een gat in geboord van straal $R_1$ en middelpunt op een afstand $d$ van onze oorspronkelijke schijf. Bereken ook van deze nieuwe schijf het traagheidsmoment.
\end{enumerate}
\newpage

\section*{Vraag 2}
Een touw met lengte $L$ en massa $M$ hangt van het plafond naar beneden. Beschouw het plafond als $z=0$ en de $z$-as naar beneden gericht. Het touw heeft een lineaire massa dichtheid $\lambda(z)=\lambda_0\sin\left(\frac{\pi z}L\right)$ met $\lambda_0$ een constante.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)] 
    \item Bereken $\lambda_0$.
    \item Wat is massa van het uiteinde van het touw?
    \item Bereken de spankracht in een punt $z$ van het touw.
\end{enumerate}
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{AN I 2025 oef 2.png}   
\end{center}

\newpage
\section*{Vraag 3}
Een blok met massa $M$ is verbonden aan een blok met massa $m$ door middel van een veer met veerconstante $k$. In rust heeft de veer een lengte van $8a$. De blok met massa $M$ staat op de grond met de bolk met massa $m$ verticaal er boven. In de evenwichtspositie heeft de veer een lengte van $7a$. Nu wordt de veer in gedrukt tot de helft van de rustlengte (niet de evenwichtslengte dus). De blokken mogen als puntmassa's beschouwd worden.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)] 
    \item teken de situatie in evenwicht en met de initiële indruk.
    \item Bereken de veerconstante $k$.
    \item Geef de vergelijking van de hoogte in functie van de tijd. (Zie Hint)
    \item Toon aan dat de onderste blok van de grond komt, slechts als $M<2m$
    \item Stel $M=\frac32$. Bereken op welk tijdstip de onderste blok van de grond komt.
\end{enumerate}
Hint: de oplossing van een differentiaal vergelijking van de vorm
$$\ddot{x}+\omega^2x=0$$
is
$$x(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$$

\newpage
\section*{Vraag 4}
Twee homogene schijven met straal $R$ liggen op een tafel. De eerste heeft een massa $M$ en de tweede heeft een massa van $2M$. De eerste schijf heet ook een hoeksnelheid $\omega_0$ en een lineaire snelheid $v_0$ en beweegt richting de andere schijf en maakt een tangentiële aanraking. Op het moment van de aanraking blijven de schijven aan elkaar plakken.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)] 
    \item Wat is de lineaire snelheid van de twee schijven na de botsing?
    \item Wat is de hoeksnelheid snelheid van de twee schijven na de botsing?
    \item Voor welke waarde van $\omega_0$ is de hoeksnelheid na de botsing $0$?
    \item Hoeveel energie gaat er verloren door de botsing?
\end{enumerate}
\begin{center}
    \includegraphics[width=1\linewidth]{AN I 2025 oef 4.png}
\end{center}

\newpage
\section*{Eindoplossingen}
De eind oplossingen moeten nog toegevoegd worden.
\begin{enumerate}
    \item Deze volledige vraag was letterlijk in de les behandeld.
        \begin{enumerate}
            \item $I = \int_{0}^{M}\lvert\hat{\omega} \times \vec r \rvert^2dm$ (leg alle parameters uit met tekening)
            \item /
            \item $I_0 = I_{cm} + d^2M$ (zie cursus)
            \item $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$
            \item $I_{gat} = \frac{M}{2}(R^2+R_1^2-\frac{2d^2R_1^2}{R^2-R_1^2})$ met $M$ de massa van de schijf met gat.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}