Wiskundige methoden in de natuurkunde: verschil tussen versies

Ga naar: navigatie, zoeken
(XJkBEJWtvemChkzcJYK)
(Versie 12464 van 193.190.253.216 (overleg) ongedaan gemaakt.)
Regel 1: Regel 1:
woGawr <a href="http://wpwapdvtcsgi.com/">wpwapdvtcsgi</a>, [url=http://vpnlaeiqxwti.com/]vpnlaeiqxwti[/url], [link=http://mibymguhilpc.com/]mibymguhilpc[/link], http://vbadgbzkvzkt.com/
+
=Algemeen=
 +
Het vak bestaat uit verschillende modules. De vragen staan apart per module. Ook de vragen van wiskundige methoden II staan hier, want dit zijn essentieel dezelfde modules.
 +
 
 +
=Examens=
 +
==Vragen Discrete Symmetrieën==
 +
===24 januari 2011 (namiddag) ===
 +
[[Media:Examen_discrete_symmetrieën_24.pdf]]
 +
 
 +
===22 januari 2010 (voormiddag) ===
 +
[[Media:ExamenDiscreteSymmetrieen2010.pdf]]
 +
 
 +
===19 januari 2010 (voormiddag) ===
 +
[[Media:methodenjan2010DiscSym.pdf]]
 +
 
 +
===19 januari 2010 (namiddag) ===
 +
[[Media:methoden19jan2010NMdiscsym1.jpg]]
 +
[[Media:methoden19jan2010NMdiscsym2.jpg]]
 +
 
 +
===augustus 2009===
 +
[[Media:Discretesymmetrieen.pdf]]
 +
 
 +
===juni 2009===
 +
*Vraag 1
 +
Verklaar de volgende stelling:
 +
Een kwantumsysteem heeft symmetrie volgens een bepaalde groep. Als twee eigentoestanden van de hamiltoniaan overeenkomen met verschillende irreps, dan zijn ze orthogonaal.
 +
Deze vraag moest je kort mondeling uitleggen.
 +
 
 +
*Vraag 2
 +
Gegeven was de representatie van S3 <math>U_{\pi}=\pi(j)</math> voor j=1,2,3.
 +
** Toon aan dat R unitair is
 +
** Toon aan dat R geen irrep kan zijn
 +
** Geef de verschillende (globaal) invariante deelruimten
 +
** Wat zijn de verschillende beperkingen horende bij de invariante deelruimten?
 +
 
 +
*Vraag 3
 +
Geef de karakter van <math>C_4</math>
 +
===juni 2008===
 +
*Vraag 1
 +
De groep van de quaternionen, gevraagd zijn de deelgroepen, normaaldeler en quotient. En vervolgens ook nog de karaktertabel. Geef een representatie van G op de pauli matrices. Is deze irreducibel?
 +
*Vraag 2
 +
Een eindige groep G,met bewerking *
 +
Definieer nu bewerking ° als: g°h :=h*g
 +
 
 +
Bewijs dat G met bewerking ° ook een groep is.
 +
 
 +
Zijn G,* en G,° ismorf?
 +
 
 +
Wat kan je zeggen over hun irreps?
 +
 
 +
===januari 2007===
 +
*Vraag 1
 +
Bekijk de groep A4, dit is de groep van de even permutaties van 4 elementen. (Meer info was gegeven maar omdat ik geen zin heb om deze over te schrijven verwijs ik naar http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group). Deze groep is te bekijken als transformaties van een regelmatig tetraëder.
 +
 
 +
Met welke transformatie komt (123) overeen? En (12)(34)?
 +
 
 +
De toevoegingsklassen zijn de volgende:
 +
C1 = {e}
 +
 
 +
C2 = {(123), (142), (134), (243)}
 +
 
 +
C3 = {(132), (124), (143), (234)}
 +
 
 +
C4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}
 +
 
 +
Zie je een verschil tussen de elementen van C2  en C3?
 +
Stel de karaktertabel van A4 op. Gegeven is dat de eerste drie elementen op de eerste rij alledrie 1 zijn. Verder zijn de eerste drie elementen van de tweede kolom 1, w, w²; met <math> w = \exp(2\pi i/3)</math>
 +
 
 +
Permutaties zoals (1234) of (12) (die wel in S4 zitten maar niet in A4) komen ook overeen met rigide transformaties van <math> \mathbb{R}^3 </math>. Zie je een meetkundig verschil met deze uit A4?
 +
 
 +
*Vraag 2
 +
We definiëren volgend scalair product op de complexe matrices van dimensie n:
 +
 
 +
<math> <A,B> := \textrm{Tr} A*B </math>
 +
 
 +
Toon aan dat dit inderdaad een scalair product is.
 +
 
 +
Neem U een unitaire representatie van een groep G in de complexe matrices van dimensie n. Toon aan dat  <math> g\in G \rightarrow \textrm{Ad}(U(g)) </math> een unitaire representatie is van G op de matrices met scalair product van hierboven. Hierbij is
 +
<math> \textrm{Ad}(U(g))(A) = U(g)A(U(g))* </math> voor <math>A\in M_n</math>
 +
 
 +
Kan je een verband vinden tussen het karakter van U en Ad(U)?
 +
 
 +
Noot: deze representaties worden gebruikt om evolutie en symmetrieën te beschrijven voor kwantumsystemen in het Heisenbergbeeld.
 +
 
 +
==Vragen Markovketens==
 +
===24 januari 2011 (namiddag) ===
 +
[[Media:Examen_stochastische_processen.pdf]]
 +
 
 +
===22 januari 2010 (voormiddag) ===
 +
[[Media:ExamenToevalsprocessen2010.pdf]]
 +
 
 +
===19 januari 2010 (namiddag) ===
 +
[[Media:methoden19jan2010NMmarkov1.jpg]]
 +
 
 +
=== Januari 2010 Voormiddag ===
 +
[[Media:Markov.pdf]]
 +
 
 +
===augustus 2009===
 +
[[Media:Toeval.pdf]]
 +
 
 +
===juni 2009===
 +
*Vraag 1
 +
**Gegeven een 2dimensionale toestandsruimte. Een deeltje heeft overgangsintensiteiten <math>\lambda(a,b)</math> om van a naar b te gaan en <math>\lambda(b,a)</math> om van b naar a te gaan. Op tijdstip t=0 zitten er N deeltjes in toestand a. Schat het aantal deeltjes dat op tijdstip t in toestand b is in functie van N,t
 +
** Geef de stationaire verdeling, of nog wat is de asymptotische kans om een fractie p van de deeltjes in niveau a te vinden
 +
** Heeft dit systeem detailed balance en wat is dan de potentiaal?
 +
 
 +
*Vraag 2
 +
Veronderstel dat we op een discrete tijd n N deeltjes hebben. Er is een kans p dat er in de volgende tijdsstap een deeltje gesplitst is en q (p+q=1) dat er een deeltje verdwenen is. Als p=1 is, dan zal de populatie oneindig groeien, als q=1 is dan zal ze zeker uitsterven. Gevraagd is hoe groot q maximaal mag zijn opdat de populatie zou blijven bestaan, of zelfs zou groeien. Argumenteer of bewijs (op een wiskundig correcte manier).
 +
===Januari 2007===
 +
*Vraag 1
 +
 
 +
Bewijs dat een Markovproces op een een toestandruimte met 2 elementen altijd voldoet aan de voorwaarde van detailled balance. Neem het geval van continue tijd. (PRECISEER zeker wat je gaat bewijzen)
 +
 
 +
*Vraag 2
 +
 
 +
Beschouw het markovproces met <math> K = \{+1,-1\}^2 </math> waarin voor <math> \sigma, \eta \in K</math> geldt <math> p(\sigma, \eta) = e^{-4\sigma_1 \sigma_2} </math>
 +
indien <math> \sigma = (\sigma_1, \sigma_2) = (\eta_1, -\eta_2)</math> of <math> \sigma = (\sigma_1, \sigma_2) = (-\eta_1, \eta_2)</math>. In alle andere gevallen is de kans op overgang nul.
 +
 
 +
Bepaal de stationaire verdeling. (Tip: Denk aan Glauberproces)
 +
 
 +
*Vraag 3
 +
We beschouwen het volgende Markovproces (Xt). Er is continue tijd en de toestandruimte is K = {0,1}. De overgangsintensiteiten worden bepaald door reële paramters a en h:
 +
 
 +
<math> p(0,1)  = e^{-a} \quad \quad \quad \quad p(1,0) = e^{a-h} </math>
 +
 
 +
We kiezen <math>X_0 = 1 </math>. Bereken de verwachtingswaarde van <math> e^{3X_t} </math> als functie van a en h.
 +
 
 +
== Vragen Potentiaaltheorie in 2D==
 +
===24 januari 2011 (namiddag) ===
 +
[[Media:Examen_potentiaaltheorie.pdf]]
 +
 
 +
===22 januari 2010 (voormiddag) ===
 +
[[Media:ExamenPotentiaaltheorie2010.pdf]]
 +
 
 +
===19 januari 2010 (namiddag) ===
 +
[[Media:methoden19jan2010NMpottheor1.jpg]]
 +
[[Media:methoden19jan2010NMpottheor2.jpg]]
 +
 
 +
===januari 2010 Voormiddag===
 +
[[Media:Methodenjan2010PotTheor.pdf]]
 +
 
 +
===augustus 2009===
 +
[[Media:Potentiaal1.pdf]]
 +
[[Media:Potentiaal2.pdf]]
 +
 
 +
===juni 2009===
 +
*Vraag 1
 +
Gegeven was de reeks
 +
<math>G(z)=\frac{1}{1+i}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z+i}{1+i}\right)^n</math>
 +
Toon aan dat dit een analytische voortzetting is van <math>F(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n</math>.
 +
Teken de convergentiegebieden. Welke functie stelt dit dan voor?
 +
* Vraag 2
 +
Bekijk de integraal
 +
 
 +
<math>I(k,t)=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{kt}}{L^2-k^2}dk</math>
 +
Je ziet dat er een probleem is met deze integraal. We zouden <math>L^2</math> beter vervangen door <math>L^2\pm i\epsilon</math>. Bereken de integraal en geef of we + of <math>-i\epsilon</math> moeten kiezen opdat de integraal eindig zou zijn voor positieve of negatieve t.
 +
 
 +
===juni 2008===
 +
*Bereken voor de cirkel met z=|4| volgende integraal:
 +
<math>\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{d}{dz}\log( f(z))dz</math> met <math>f(z) = \frac{\sin z}{(z-5)(3z+2)(2z-i)}</math>.  Dan was er nog wat uitleg over het feit dat je voor een willekeurige functie de waarde kon vinden door het aantal nulpunten - het aantal polen, en dit moest je vergelijken met je antwoord.
 +
**Ik veronderstel dat het over de volgende eigenschap gaat- het zogenaamde Argument Principle.
 +
Veronderstel f een meromorfe functie in de regio G en <math>\gamma</math> een positief georienteerde, enkelvoudig gesloten gladde kromme die niet door een nulpunt of pool van f gaat. Stel vervolgens <math>Z(f,\gamma)</math> het aantal nulpunten van f binnen <math>\gamma</math> (met multipliciteit) en <math>P(f,\gamma)</math> het aantal polen van f binnen <math>\gamma</math> (met multipliciteit) dan geldt <math>\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f^'}{f}dz=Z(f,\gamma)-P(f,\gamma)</math>
 +
 
 +
*Vraag 2 ging over een spiegellading (naar ik mij herinner equivalent met sectie 3.2.1 uit Griffiths, meer weet ik niet meer, iemand?
 +
 
 +
===Januari 2007===
 +
*Vraag 1
 +
Zoek een analytische functie waarvan het reële deel gelijk is aan sin(x)cosh(y). Lukt het ook om zo'n analytische functie te vinden waarvoor het reële deel gelijk is aan x²y².
 +
 
 +
*Vraag 2
 +
Schrijf een Taylor- of Laurentreeks neer voor <math> z^ke^{1/z} </math>
 +
 
 +
*Vraag 3
 +
Bereken de integraal <math> I = \int^{\infty}_{-\infty} \frac{ e^{5ix}}{1+x^2} dx</math>
 +
 
 +
Om dit te doen zal je de contour moeten sluiten. Je moet niet bewijzen dat de itnegraal over het andere deel van de contour nul is (maar je mag dat natuurlijk doen als je je niet kan inhouden). Maar je kan de contour langs twee kanten sluiten, leg wel uit waarom je een bpeaalde manier gekoz=en hebt.
 +
 
 +
*Vraag 4
 +
nog in te tikken...
 +
Dit ging om te verklaren waarom een bepaalde contour gebruikt werd om een bepaalde integraal uit te rekenen.
 +
 
 +
==Vragen Perturbatietheorie==
 +
===Juni 2008 (wisk meth II)===
 +
*Vraag 1
 +
Deze vraag gaat over voorbeeld 1.2 uit de nota's. We bekijken hier de harmonische oscillator met behulp van de annihilatie- en creatieoperatoren (resp. a en a*). De Hamiltoniaan is dan te schrijven als
 +
 
 +
<math>
 +
H = H_0 + \lambda (a + a*)^4
 +
</math>
 +
 
 +
Kan je zonder enige berekening te maken iets zeggen over de ligging van de energieniveau's van H tov. <math>H_0</math>?
 +
 
 +
Bereken de correctie van eerste orde op de grondtoestandsenergie. Tracht je berekening efficiënt te organiseren. (Nog een hoop verdere uitleg over de creatie en annihilatieoperatoren was gegeven, maar deze is niet echt relevant en eventueel op te zoeken in het handboek kwantummechanica.)
 +
*Vraag 2
 +
Argumenteer zonder formules te gebruiken dat een nxn matrix die voldoende dicht bij een inverteerbare nxn matrix ligt, zelf inverteerbaar is.
 +
 
 +
Stel nu dat A en A+B inverteerbare matrices zijn, toon aan dat
 +
 
 +
<math>
 +
(A+B)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}B(A+B)^{-1}
 +
</math>
 +
 
 +
Gebruik deze formule om, zoals bij de Dysonreeks, een reeksontwikkeling op te stellen voor <math> (A+B)^{-1}</math> rond B = 0. Geef dan een voldoende voorwaarde op de grootte van B opdat deze reeks zou convergeren.
 +
 
 +
Bereken ten slotte een formule voor de afgeleide van <math>A(x)^{-1}</math>.
 +
 
 +
===21 Juni 2010 (wisk meth II)===
 +
*Vraag 1
 +
 
 +
Gegeven zijn:
 +
<math>
 +
A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]
 +
</math>
 +
<math>
 +
B = \frac{1}{3}\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right]
 +
</math>
 +
 
 +
Bereken de eigenwaarden van de matrix <math>A + \epsilon B</math> tot op een orde van <math>\epsilon</math>.
 +
 
 +
*Vraag 2
 +
Stel nu dat A en A+B inverteerbare matrices zijn, toon aan dat
 +
 
 +
<math>
 +
(A+B)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}B(A+B)^{-1}
 +
</math>
 +
 
 +
Gebruik deze formule om een reeksontwikkeling op te stellen voor <math> (A+B)^{-1}</math>. Wat als B klein?
 +
 
 +
Bereken ten slotte een formule voor de afgeleide van <math>A(x)^{-1}</math>.
 +
 
 +
==Vragen Klassieke Veldentheorie==
 +
===Juni 2008 (wisk meth II)===
 +
*Vraag 1: De Proca Lagrangiaan
 +
De Proca Lagrangiaanse dichtheid is
 +
 
 +
<math>
 +
L = -\frac{c^2}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}-\frac{\mu^2c^2}{8\pi}A^{\mu}A_{\mu}
 +
</math>
 +
Bereken de bewegingsvergelijkingen (je zal deze verderop nodig hebben).
 +
 
 +
Volg dezelfde procedure als bij de Maxwell Lagrangiaan om de symmetrische energie-momentum tensor te vinden. Toon aan dat volgende formule geldt.
 +
<math>
 +
\Theta^{00} = \frac{1}{8\pi}(E^2+c^2B^2+\mu^2c^2(A^0A^0 + \vec{A}\cdot\vec{A}))
 +
</math>
 +
 
 +
Bereken ook <math>\Theta^{0i} </math>
 +
*Vraag 2
 +
Bekijk de Poynting vector
 +
<math>
 +
\vec{P} = \frac{1}{4\pi}\vec{E}\times\vec{B}
 +
</math>
 +
 
 +
Als er geen bronnen zijn geldt er voor deze grootheid een behoudswet
 +
<math>
 +
\frac{\partial u}{\partial t} = -c^2\nabla\cdot\vec{P}
 +
</math>
 +
 
 +
Toon dit aan vanuit de cursus en geef de grootheid u. Hoe verandert dit als er geladen deeltjes aanwezig zijn?
 +
===Juni 2009 ===
 +
* OPMERKING: de vragen zijn nog onvolledig (bij de 1e vraag stond behoorlijk wat tekst),Dus als iemand kan aanvullen
 +
*1. Er was een formule gegeven voor een dilatatie: Ik dacht <math>x'_\mu=x_\mu-\xi_\mu(x)</math> met <math>xi_\mu(x)=\lambda x_\mu</math> met \lambda klein.
 +
Daarvan moest je aantonen dat het metrisch element niet invariant was. En dan moest je een voorwaarde zoeken zodat dit wel invariant was.
 +
Er was ook een transformatie van de velden gegeven. <math>A_\mu'=A_\mu+\xi_nu(x)\partial_mu A_\nu(x)+A_\nu(x)\partial_\mu\xi_\nu(x)</math>
 +
Toon aan dat de Lagrangiaan <math>\mathcal{L}(A')</math>  transformeert met een totale afgeleide.
 +
*2. Beshcouw de Lagrangiaan <math>\mathcal {L}=-\frac{1}{6}F_{\mu\nu\rho}F^{\mu\nu\rho}</math> met <math>F_{\mu\nu\rho}=\partial_\mu B_{\nu\rho}+\partial_\nu B_{\rho\mu}+ \partial_\rho B_{\mu\nu}</math> en <math>B_{\mu\nu}=-B_{\nu\mu}</math>
 +
**Bereken de Euler-Lagrangevergelijkingen
 +
**Bereken de canonieke stress tensor aan
 +
** Toon aan behoud aan (ik veronderstel van <math>T_{\mu\nu}</math>, maar ik weet het niet meer)
 +
[[Categorie:3bf]]
 +
[[Categorie:3bw]]
 +
[[Categorie:mf]]
 +
 
 +
==Vragen Dynamische Systemen==
 +
===21 Juni 2010 (wisk meth II)===
 +
 
 +
* 1) Show that
 +
 
 +
<math> \dot{x} = x^\frac{1}{3}</math>
 +
 
 +
starting from <math>x(t=0)=0</math> has an infinite number of solutions.
 +
 
 +
* 2) Show that a subcritical Hopf bifurcation occurs at the origin as <math>\mu</math> varies, for:
 +
 
 +
<math>
 +
\dot{x} = \mu \frac{x}{10} - \frac{2}{15} y + \frac{4}{9}x y^2 ,
 +
\dot{y} = \frac{10}{3} x + \frac{\mu}{10} y + \frac{9}{4} y^3
 +
</math>
 +
 
 +
* 3) Show that the period 2-orbit (<math>\left(\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)</math>) is unstable for the map (discrete time on [0,1]):
 +
 
 +
 
 +
<math>
 +
\begin{array}{cc} f(x) = 2x & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ f(x) = 2 - 2x & \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{array}
 +
</math>

Versie van 31 mei 2011 om 09:04

Algemeen

Het vak bestaat uit verschillende modules. De vragen staan apart per module. Ook de vragen van wiskundige methoden II staan hier, want dit zijn essentieel dezelfde modules.

Examens

Vragen Discrete Symmetrieën

24 januari 2011 (namiddag)

Media:Examen_discrete_symmetrieën_24.pdf

22 januari 2010 (voormiddag)

Media:ExamenDiscreteSymmetrieen2010.pdf

19 januari 2010 (voormiddag)

Media:methodenjan2010DiscSym.pdf

19 januari 2010 (namiddag)

Media:methoden19jan2010NMdiscsym1.jpg Media:methoden19jan2010NMdiscsym2.jpg

augustus 2009

Media:Discretesymmetrieen.pdf

juni 2009

  • Vraag 1

Verklaar de volgende stelling: Een kwantumsysteem heeft symmetrie volgens een bepaalde groep. Als twee eigentoestanden van de hamiltoniaan overeenkomen met verschillende irreps, dan zijn ze orthogonaal. Deze vraag moest je kort mondeling uitleggen.

  • Vraag 2

Gegeven was de representatie van S3 voor j=1,2,3.

    • Toon aan dat R unitair is
    • Toon aan dat R geen irrep kan zijn
    • Geef de verschillende (globaal) invariante deelruimten
    • Wat zijn de verschillende beperkingen horende bij de invariante deelruimten?
  • Vraag 3

Geef de karakter van

juni 2008

  • Vraag 1

De groep van de quaternionen, gevraagd zijn de deelgroepen, normaaldeler en quotient. En vervolgens ook nog de karaktertabel. Geef een representatie van G op de pauli matrices. Is deze irreducibel?

  • Vraag 2

Een eindige groep G,met bewerking * Definieer nu bewerking ° als: g°h :=h*g

Bewijs dat G met bewerking ° ook een groep is.

Zijn G,* en G,° ismorf?

Wat kan je zeggen over hun irreps?

januari 2007

  • Vraag 1

Bekijk de groep A4, dit is de groep van de even permutaties van 4 elementen. (Meer info was gegeven maar omdat ik geen zin heb om deze over te schrijven verwijs ik naar http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group). Deze groep is te bekijken als transformaties van een regelmatig tetraëder.

Met welke transformatie komt (123) overeen? En (12)(34)?

De toevoegingsklassen zijn de volgende: C1 = {e}

C2 = {(123), (142), (134), (243)}

C3 = {(132), (124), (143), (234)}

C4 = {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}

Zie je een verschil tussen de elementen van C2 en C3? Stel de karaktertabel van A4 op. Gegeven is dat de eerste drie elementen op de eerste rij alledrie 1 zijn. Verder zijn de eerste drie elementen van de tweede kolom 1, w, w²; met

Permutaties zoals (1234) of (12) (die wel in S4 zitten maar niet in A4) komen ook overeen met rigide transformaties van . Zie je een meetkundig verschil met deze uit A4?

  • Vraag 2

We definiëren volgend scalair product op de complexe matrices van dimensie n:

Toon aan dat dit inderdaad een scalair product is.

Neem U een unitaire representatie van een groep G in de complexe matrices van dimensie n. Toon aan dat een unitaire representatie is van G op de matrices met scalair product van hierboven. Hierbij is voor

Kan je een verband vinden tussen het karakter van U en Ad(U)?

Noot: deze representaties worden gebruikt om evolutie en symmetrieën te beschrijven voor kwantumsystemen in het Heisenbergbeeld.

Vragen Markovketens

24 januari 2011 (namiddag)

Media:Examen_stochastische_processen.pdf

22 januari 2010 (voormiddag)

Media:ExamenToevalsprocessen2010.pdf

19 januari 2010 (namiddag)

Media:methoden19jan2010NMmarkov1.jpg

Januari 2010 Voormiddag

Media:Markov.pdf

augustus 2009

Media:Toeval.pdf

juni 2009

  • Vraag 1
    • Gegeven een 2dimensionale toestandsruimte. Een deeltje heeft overgangsintensiteiten om van a naar b te gaan en om van b naar a te gaan. Op tijdstip t=0 zitten er N deeltjes in toestand a. Schat het aantal deeltjes dat op tijdstip t in toestand b is in functie van N,t
    • Geef de stationaire verdeling, of nog wat is de asymptotische kans om een fractie p van de deeltjes in niveau a te vinden
    • Heeft dit systeem detailed balance en wat is dan de potentiaal?
  • Vraag 2

Veronderstel dat we op een discrete tijd n N deeltjes hebben. Er is een kans p dat er in de volgende tijdsstap een deeltje gesplitst is en q (p+q=1) dat er een deeltje verdwenen is. Als p=1 is, dan zal de populatie oneindig groeien, als q=1 is dan zal ze zeker uitsterven. Gevraagd is hoe groot q maximaal mag zijn opdat de populatie zou blijven bestaan, of zelfs zou groeien. Argumenteer of bewijs (op een wiskundig correcte manier).

Januari 2007

  • Vraag 1

Bewijs dat een Markovproces op een een toestandruimte met 2 elementen altijd voldoet aan de voorwaarde van detailled balance. Neem het geval van continue tijd. (PRECISEER zeker wat je gaat bewijzen)

  • Vraag 2

Beschouw het markovproces met waarin voor geldt indien of . In alle andere gevallen is de kans op overgang nul.

Bepaal de stationaire verdeling. (Tip: Denk aan Glauberproces)

  • Vraag 3

We beschouwen het volgende Markovproces (Xt). Er is continue tijd en de toestandruimte is K = {0,1}. De overgangsintensiteiten worden bepaald door reële paramters a en h:

We kiezen . Bereken de verwachtingswaarde van als functie van a en h.

Vragen Potentiaaltheorie in 2D

24 januari 2011 (namiddag)

Media:Examen_potentiaaltheorie.pdf

22 januari 2010 (voormiddag)

Media:ExamenPotentiaaltheorie2010.pdf

19 januari 2010 (namiddag)

Media:methoden19jan2010NMpottheor1.jpg Media:methoden19jan2010NMpottheor2.jpg

januari 2010 Voormiddag

Media:Methodenjan2010PotTheor.pdf

augustus 2009

Media:Potentiaal1.pdf Media:Potentiaal2.pdf

juni 2009

  • Vraag 1

Gegeven was de reeks Toon aan dat dit een analytische voortzetting is van . Teken de convergentiegebieden. Welke functie stelt dit dan voor?

  • Vraag 2

Bekijk de integraal

Je ziet dat er een probleem is met deze integraal. We zouden beter vervangen door . Bereken de integraal en geef of we + of moeten kiezen opdat de integraal eindig zou zijn voor positieve of negatieve t.

juni 2008

  • Bereken voor de cirkel met z=|4| volgende integraal:

met . Dan was er nog wat uitleg over het feit dat je voor een willekeurige functie de waarde kon vinden door het aantal nulpunten - het aantal polen, en dit moest je vergelijken met je antwoord.

    • Ik veronderstel dat het over de volgende eigenschap gaat- het zogenaamde Argument Principle.

Veronderstel f een meromorfe functie in de regio G en een positief georienteerde, enkelvoudig gesloten gladde kromme die niet door een nulpunt of pool van f gaat. Stel vervolgens het aantal nulpunten van f binnen (met multipliciteit) en het aantal polen van f binnen (met multipliciteit) dan geldt

  • Vraag 2 ging over een spiegellading (naar ik mij herinner equivalent met sectie 3.2.1 uit Griffiths, meer weet ik niet meer, iemand?

Januari 2007

  • Vraag 1

Zoek een analytische functie waarvan het reële deel gelijk is aan sin(x)cosh(y). Lukt het ook om zo'n analytische functie te vinden waarvoor het reële deel gelijk is aan x²y².

  • Vraag 2

Schrijf een Taylor- of Laurentreeks neer voor

  • Vraag 3

Bereken de integraal

Om dit te doen zal je de contour moeten sluiten. Je moet niet bewijzen dat de itnegraal over het andere deel van de contour nul is (maar je mag dat natuurlijk doen als je je niet kan inhouden). Maar je kan de contour langs twee kanten sluiten, leg wel uit waarom je een bpeaalde manier gekoz=en hebt.

  • Vraag 4

nog in te tikken... Dit ging om te verklaren waarom een bepaalde contour gebruikt werd om een bepaalde integraal uit te rekenen.

Vragen Perturbatietheorie

Juni 2008 (wisk meth II)

  • Vraag 1

Deze vraag gaat over voorbeeld 1.2 uit de nota's. We bekijken hier de harmonische oscillator met behulp van de annihilatie- en creatieoperatoren (resp. a en a*). De Hamiltoniaan is dan te schrijven als

Kan je zonder enige berekening te maken iets zeggen over de ligging van de energieniveau's van H tov. ?

Bereken de correctie van eerste orde op de grondtoestandsenergie. Tracht je berekening efficiënt te organiseren. (Nog een hoop verdere uitleg over de creatie en annihilatieoperatoren was gegeven, maar deze is niet echt relevant en eventueel op te zoeken in het handboek kwantummechanica.)

  • Vraag 2

Argumenteer zonder formules te gebruiken dat een nxn matrix die voldoende dicht bij een inverteerbare nxn matrix ligt, zelf inverteerbaar is.

Stel nu dat A en A+B inverteerbare matrices zijn, toon aan dat

Gebruik deze formule om, zoals bij de Dysonreeks, een reeksontwikkeling op te stellen voor rond B = 0. Geef dan een voldoende voorwaarde op de grootte van B opdat deze reeks zou convergeren.

Bereken ten slotte een formule voor de afgeleide van .

21 Juni 2010 (wisk meth II)

  • Vraag 1

Gegeven zijn:

Bereken de eigenwaarden van de matrix tot op een orde van .

  • Vraag 2

Stel nu dat A en A+B inverteerbare matrices zijn, toon aan dat

Gebruik deze formule om een reeksontwikkeling op te stellen voor . Wat als B klein?

Bereken ten slotte een formule voor de afgeleide van .

Vragen Klassieke Veldentheorie

Juni 2008 (wisk meth II)

  • Vraag 1: De Proca Lagrangiaan

De Proca Lagrangiaanse dichtheid is

Bereken de bewegingsvergelijkingen (je zal deze verderop nodig hebben).

Volg dezelfde procedure als bij de Maxwell Lagrangiaan om de symmetrische energie-momentum tensor te vinden. Toon aan dat volgende formule geldt.

Bereken ook

  • Vraag 2

Bekijk de Poynting vector

Als er geen bronnen zijn geldt er voor deze grootheid een behoudswet

Toon dit aan vanuit de cursus en geef de grootheid u. Hoe verandert dit als er geladen deeltjes aanwezig zijn?

Juni 2009

  • OPMERKING: de vragen zijn nog onvolledig (bij de 1e vraag stond behoorlijk wat tekst),Dus als iemand kan aanvullen
  • 1. Er was een formule gegeven voor een dilatatie: Ik dacht met met \lambda klein.

Daarvan moest je aantonen dat het metrisch element niet invariant was. En dan moest je een voorwaarde zoeken zodat dit wel invariant was. Er was ook een transformatie van de velden gegeven. Toon aan dat de Lagrangiaan transformeert met een totale afgeleide.

  • 2. Beshcouw de Lagrangiaan met en
    • Bereken de Euler-Lagrangevergelijkingen
    • Bereken de canonieke stress tensor aan
    • Toon aan behoud aan (ik veronderstel van , maar ik weet het niet meer)

Vragen Dynamische Systemen

21 Juni 2010 (wisk meth II)

  • 1) Show that

starting from has an infinite number of solutions.

  • 2) Show that a subcritical Hopf bifurcation occurs at the origin as varies, for:

  • 3) Show that the period 2-orbit () is unstable for the map (discrete time on [0,1]):