Numerieke Wiskunde: verschil tussen versies

Ga naar: navigatie, zoeken
(Examenvraag 18)
Regel 1: Regel 1:
 
[[Afbeelding:MarcVanBarel.jpg|right|200px|]]
 
[[Afbeelding:MarcVanBarel.jpg|right|200px|]]
  
= Extra oefenmateriaal van de website van de burgies geplukt =
+
= Extra oefenmateriaal =
 
+
Deze oefeningen zijn afkomstig van de website van de burgerlijk ingenieurs.
  
 
http://examens.wina.be/images/Oefeningen_Burgies.doc
 
http://examens.wina.be/images/Oefeningen_Burgies.doc
  
= Examenvragen Numerieke Wiskunde =
+
= Losse examenvragen =
  
 
'''Hieronder een aantal examenvragen die van een aantal bronnen zijn samengeraapt...'''<br>
 
'''Hieronder een aantal examenvragen die van een aantal bronnen zijn samengeraapt...'''<br>
Regel 265: Regel 265:
 
Ja mag aannemen dat matrix A van volle rang is.
 
Ja mag aannemen dat matrix A van volle rang is.
  
==  Examen 19/01/2006 ==
+
= Examens =
 +
 
 +
==  Examen 19 januari 2006 ==
 
1) we hebben de functie f(x):exp(x^2)-1-x^2. Is deze numeriek stabiel? Bereken f(10^(-4)) met 10 beduidende juiste cijfers.  
 
1) we hebben de functie f(x):exp(x^2)-1-x^2. Is deze numeriek stabiel? Bereken f(10^(-4)) met 10 beduidende juiste cijfers.  
  
Regel 279: Regel 281:
 
geef min over x van de 2-norm van Ax-b tot op 2 beduidende cijfers en leg dan uit hoe je de x zou berekenen waarvoor dit min bereikt wordt (keigoe te doen met u slides daarover behalve dan dat er een fout in de slides staat, yi=bi/sigmai moet vervangen worden door yi=bi'/sigmai)
 
geef min over x van de 2-norm van Ax-b tot op 2 beduidende cijfers en leg dan uit hoe je de x zou berekenen waarvoor dit min bereikt wordt (keigoe te doen met u slides daarover behalve dan dat er een fout in de slides staat, yi=bi/sigmai moet vervangen worden door yi=bi'/sigmai)
  
== Examen 26-01-2007 (wiskunde) ==
+
== Examen 26 januari 2007 (wiskunde) ==
 
# Gegeven de formule <math>\sqrt{1+x^3} - \sqrt{1+x^2}</math>. Bespreek de stabiliteit van deze formule voor <math>x = 10^{-5}</math>. Geef een gedetailleerd antwoord op basis van foutenanalyse. Kan je de waarde voor <math>x = 10^{-5}</math> met zeven beduidende cijfers bepalen?
 
# Gegeven de formule <math>\sqrt{1+x^3} - \sqrt{1+x^2}</math>. Bespreek de stabiliteit van deze formule voor <math>x = 10^{-5}</math>. Geef een gedetailleerd antwoord op basis van foutenanalyse. Kan je de waarde voor <math>x = 10^{-5}</math> met zeven beduidende cijfers bepalen?
 
# Beschouw de substitutieformule <math>x^{(k+1)} = \exp(ax^{(k)})</math> met a reëel. Voor welke waarden van a zijn er één/geen/meerdere vaste punten? Als er een vast punt is, wanneer convergeert de methode dan? Naar welk punt? Voor welke startwaarden? Ken je hiervoor een geschikt stopcriterium?
 
# Beschouw de substitutieformule <math>x^{(k+1)} = \exp(ax^{(k)})</math> met a reëel. Voor welke waarden van a zijn er één/geen/meerdere vaste punten? Als er een vast punt is, wanneer convergeert de methode dan? Naar welk punt? Voor welke startwaarden? Ken je hiervoor een geschikt stopcriterium?
Regel 289: Regel 291:
 
# Bespreek de conditie van de kleinste-kwadratenmethode. Je mag hierbij aannemen dat A van volle rang is.
 
# Bespreek de conditie van de kleinste-kwadratenmethode. Je mag hierbij aannemen dat A van volle rang is.
  
== Examen Michaël 29-01-2007 ==
+
== Examen 29 januari 2007 ==
 
# veelterm van de vorm (x-2)(x-4)...(x-30). Waarom wordt de fout groter naar gelang een groter nulpunt wordt gekozen.(merk wel op dat naar gelang x->30 dat de fout weer kleiner wordt aangezien ai daar 1 is. Gewoon uitwerken naar f(x) = y(x) + E(x) en dan E(x) afzonderen. Dit geeft |emach| SOM(i=0 ..15) |ai| x^i.
 
# veelterm van de vorm (x-2)(x-4)...(x-30). Waarom wordt de fout groter naar gelang een groter nulpunt wordt gekozen.(merk wel op dat naar gelang x->30 dat de fout weer kleiner wordt aangezien ai daar 1 is. Gewoon uitwerken naar f(x) = y(x) + E(x) en dan E(x) afzonderen. Dit geeft |emach| SOM(i=0 ..15) |ai| x^i.
 
# Zij p(X) een veelterm van onbekende graad zodanig dat p(0) = 4, p(1) = 9, p(2) = 15 en p(3) = 18. Veronderstel dat alle gedeelde differenties van orde 4 gelijk zijn aan 1. Bepaal de coëfficiënt van x^3.
 
# Zij p(X) een veelterm van onbekende graad zodanig dat p(0) = 4, p(1) = 9, p(2) = 15 en p(3) = 18. Veronderstel dat alle gedeelde differenties van orde 4 gelijk zijn aan 1. Bepaal de coëfficiënt van x^3.
Regel 295: Regel 297:
 
# Je krijgt een matrix A, b en de QR vorm van A. Bereken minx ||Ax - B||. Welke methode gebruik je hiervoor? (kleinste kwadratenbenadering(slides) natuurlijk.)
 
# Je krijgt een matrix A, b en de QR vorm van A. Bereken minx ||Ax - B||. Welke methode gebruik je hiervoor? (kleinste kwadratenbenadering(slides) natuurlijk.)
  
 
+
== Examen 8 juni 2007 ==
 
 
== Examen Reinhart 08-06-2007 ==
 
 
examenvragen die de industrieel ingenieurs die het overgangsprogramma naar burgie volgen kregen (voor zover 'k het me nog herinner):
 
examenvragen die de industrieel ingenieurs die het overgangsprogramma naar burgie volgen kregen (voor zover 'k het me nog herinner):
  
Regel 353: Regel 353:
 
antwoord: normaal vinden we met von Mises (= Methode der machten) de grootste eigenwaarde. Nu niet, en dat komt omdat onze startwaarde toevallig een lineaire combinatie is van de twee andere eigenvectoren.
 
antwoord: normaal vinden we met von Mises (= Methode der machten) de grootste eigenwaarde. Nu niet, en dat komt omdat onze startwaarde toevallig een lineaire combinatie is van de twee andere eigenvectoren.
  
 
+
== Examen 20 augustus 2007 ==
 
 
 
 
== Examen 20-08-2007 ==
 
 
VRAAG 1: Een Mapleprogramma voert onderstaande instructies uit, leg in detail uit waarom het programma besluit dat y niet gelijk is aan 0.3
 
VRAAG 1: Een Mapleprogramma voert onderstaande instructies uit, leg in detail uit waarom het programma besluit dat y niet gelijk is aan 0.3
 
* x = 0.1
 
* x = 0.1
Regel 374: Regel 371:
 
VRAAG 4: wat maple code over de methode der machten.  Een driehoekige matrix is gegeven, met zijn eigenwaarden 2, 3 en -2.  De methode Verder is ook een startvector gegeven.  De methode lijkt te convergeren naar 2, maar convergeert tenslotte toch naar 3, dit zie je in een grafiek. Vraag: leg de grafiek uit.  (Dit is omdat de startvector kan geschreven worden als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van de matrix, en de component van de eigenvector bij 3 is zeer klein.) (Vraag uit een oude examenbundel, als ik eens tijd heb zal ik die ook eens inscanne
 
VRAAG 4: wat maple code over de methode der machten.  Een driehoekige matrix is gegeven, met zijn eigenwaarden 2, 3 en -2.  De methode Verder is ook een startvector gegeven.  De methode lijkt te convergeren naar 2, maar convergeert tenslotte toch naar 3, dit zie je in een grafiek. Vraag: leg de grafiek uit.  (Dit is omdat de startvector kan geschreven worden als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van de matrix, en de component van de eigenvector bij 3 is zeer klein.) (Vraag uit een oude examenbundel, als ik eens tijd heb zal ik die ook eens inscanne
  
== Examen 14-01-2008 (Informatica)==
+
== Examen 14 januari 2008 (informatica) ==
 
#Examenvraag 5
 
#Examenvraag 5
 
#Examenvraag 2 (minimale ||r|| bepalen en zeggen hoe je de vector x die daarbij hoort kunt vinden)
 
#Examenvraag 2 (minimale ||r|| bepalen en zeggen hoe je de vector x die daarbij hoort kunt vinden)
Regel 380: Regel 377:
 
#Maple-sheet met stelsel van 2 niet-lineaire vergelijkingen en bijbehorende Jacobiaan gegeven. Grafieken van gewone newton-raphson en vereenvoudigde NR (enkelvoudige en totale stap methodes) -> Convergentieorde en -snelheid geven van beide methodes.
 
#Maple-sheet met stelsel van 2 niet-lineaire vergelijkingen en bijbehorende Jacobiaan gegeven. Grafieken van gewone newton-raphson en vereenvoudigde NR (enkelvoudige en totale stap methodes) -> Convergentieorde en -snelheid geven van beide methodes.
  
== Examen 14/01/2008 (1) ==
+
== Examen 14 januari 2008 (1) ==
Exact hetzelfde examen als 19/01/06
+
Exact hetzelfde examen als op 19 januari 2006.
  
== Examen 14/01/2008 (2) ==
+
== Examen 14 januari 2008 (2) ==
Hetzelfde examen als 29-01-2007.
+
Hetzelfde examen als 29 januari 2007.
  
== Examen 18-01-2008, voormiddag (Informatica)==
+
== Examen 18 januari 2008, voormiddag (informatica) ==
 
#Examenvraag 11
 
#Examenvraag 11
 
#Examenvraag 12
 
#Examenvraag 12
Regel 392: Regel 389:
 
#Examenvraag 32
 
#Examenvraag 32
  
== Examen 18-08-2008, voormiddag (Informatica)==
+
== Examen 18 augustus 2008, voormiddag (informatica)==
Zelfde als [[#Examen 20-08-2007|het herexamen van 20-8-2007]]
+
Zelfde als [[#Examen 20 augustus 2007|het herexamen van 20 augustus 2007]].
 +
 
 +
== Examen 8 juni 2009, namiddag ==
 +
# Examenvraag 4
 +
# Examenvraag 5
 +
# Examenvraag 23
 +
# Examenvraag 24

Versie van 8 jun 2009 om 23:31

MarcVanBarel.jpg

Extra oefenmateriaal

Deze oefeningen zijn afkomstig van de website van de burgerlijk ingenieurs.

http://examens.wina.be/images/Oefeningen_Burgies.doc

Losse examenvragen

Hieronder een aantal examenvragen die van een aantal bronnen zijn samengeraapt...
Deze kunnen onduidelijk, onvolledig, onmogelijk,... zijn...
De opmaak is niet altijd helemaal in orde

Hulp met wiskundesyntax vindt je hier: http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Formula

Geachte heer Van Barel heeft de neiging om deze vragen letterlijk opnieuw te vragen, zie maar dat ge deze kent dus! Maar wie de rest niet leert is nog dommer dan Jos Ghysen, en 't is niet omdat hij een tv programma gehad heeft dat gij dat ook zult hebben! Leren dus!. Oppassen voor bijvragen (if any). Maar in het jaar 2007 was dat toch niet meer waar, van die vragen opnieuw gesteld te hebben, dus zeker gewoon helemaal leren Geldt nog steeds in het jaar 2007 hoor, je moet gewoon wat geluk hebben. En in 2008 was het weer zo dus maak alles wat hieronder staat maar!

Examenvraag 1

Gegeven een programma

som = 0.0
for i = 0.0:0.1:1.0
verschil = i - som % == 0
som = som + 0.1
end

Output:

verschil = 0
verschil = 0
..
verschil = 1.1.. e-15

(Syntaxverduidelijking: % en alles wat erachter komt is commentaar, geen modulo ofzo.)

Verklaar waarom het verschil plots niet meer gelijk is aan 0. Waarvoor staat dat getal?

Examenvraag 2

Je krijgt de QR ontbinding van een matrix A, en Q'.b.
gevraagd: ||r|| en hoe zou je x bepalen dat hoort bij die ||r||.

Examenvraag 3

Je krijgt een paar grafiekjes en maple code over Newton Raphson en de vereenvoudigde Newton Raphson (niet lineaire stelsels). Je krijgt een viertal kleine "verklaar waarom" vraagjes.

Examenvraag 4

Maple afdruk: laatste vraag van de examenvragen in de winabundel (Die over het bepalen van eigenwaarden met de methode van de machten).

Uit de matrix A = [2 1 -1; 0 3 -5; 0 0 -2] wordt de dominante eigenwaarde berekend. De startwaarden zijn: [-1.00001 1.00002 1]. Op de grafiek is zichtbaar dat er eerst naar 2 lijkt te convergeren, maar uiteindelijk toch de juiste eigenwaarde 3 gekozen wordt. Het berekenen gebeurd met de methode van de machten met normalisatie.

  • Hoe komt het dat er eerst naar 2 geconvergeerd wordt?
  • Waarom uiteindelijk toch naar 3?
  • Wat als er geen normalisatie gebruikt zou worden?

Examenvraag 5

Maple printout
p1=(x-2)(x-4)... (x-30)=PROD(i=1..15)(x-xi) met xi=2*i
p2 is p1 uitgewerkt(geexpandeerd)
uitgewerkt: x15+b14x14+...+b0=SOMi=0..15(bixi) [met bi gegeven constanten, elke bi heeft een mantisse met precisie 10]

die twee geplot.
een keer van interval x=2..6
een keer van interval x=6..20
een keer van interval x=20..30
(de fout in het derde interval was veel groter dan in het eerste interval)

#Maple code om te testen
f:= (x-2)*(x-4)*(x-6)*(x-8)*(x-10)*(x-12)*(x-14)*(x-16)*(x-18)*(x-20)*(x-22)*(x-24)*(x-26)*(x-28)*(x-30);
g:=collect(f,x);
#Aangezien ik geen verschil kon zien bij mijn eigen test van de 2 functies heb ik het verschil geplot
plots[logplot]([f-g],x=2..6); 
plots[logplot]([f-g],x=6..20);
plots[logplot]([f-g],x=20..30);

De vraag is hoe het komt dat de fouten groter zijn voor grotere nulpunten. Als bijvraag moest ik verklaren waarom de fout voor vb. x=28 van de orde 10^13 is en van welke orde de fout dan is voor x = 4. ( dat laatste zag je niet op de grafiek, omdat de fout heel klein was tegenover de grootte van de functie zelf ).

Examenvraag 6

Er is een functie van de vorm p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... +an*x^n (n is niet gekend)
p(0) = 5
p(1) = 9
p(2) = 15
p(3) = 18

Gegeven dat alle gedeelde differenties van de vierde graad 1 zijn.
Geef a3.

Examenvraag 7

Maple printout
Newton Raphson.
gegeven: f(x), df(x)
plot van de fout voor a=-1 (naar nulpunt -0.3....)
geef de convergentiesnelheid in detail.

Examenvraag 8

gegeven een 2-dimensionaal lineair stelsel Ax = b met

A = [ (+1)   1  ]
    [        1  ]

We gebruiken de methode van Jacobi om een nulpunt te vinden. Bepaal alle waarden van alfa waarvoor de methode van Jacobi convergeert ( voor alle startwaarden ).

Examenvraag 9

  • eem p(x) = a0 + a_1 x + ... + a_n x^n n is onbekend. p(0)=4, p(1)=9, p(2)=15, p(3)=18. De gedeelde differenties van orde 4 zijn allemaal gelijk aan 1. Bepaal a_3.

Examenvraag 10

Gegeven nog een hoop maple-uitvoer. Het gaat over een vijfdegraadsveelterm met een nulpunt in -0.31. Er wordt Newton-Raphson gebruikt om dat nulpunt te berekenen, en je krijgt een logaritmische plot van de fout. De plot is een heel normale, typische plot voor kwadratische convergentie.

De vraag is: verklaar deze grafiek ( van de fout dus ). Wat is de convergentie-snelheid ?\" Als bijvraag kreeg ik \"het aantal juiste beduidende cijfers verdubbelt bij elke stap, hoe zie je dat in de grafiek ?.

Examenvraag 11

Gegeven: A,b en twee berekende x matrices: Ax=b. De resultaten liggen ver uit elkaar. Bespreek stabiliteit van de methodes als machinenauwkeurigheid 10^-15 is.

Examenvraag 12

  • Vraag: Veelterm met en . Geef alle veeltermen van zo laag mogelijke graad die hieraan voldoen. (Antwoord: p(0)+x-x³)

Examenvraag 13

Methode van het midden: bespreek grafiek, slecht geconditioneerd?

Examenvraag 14

Newton-Raphson + vereenvoudigde: bespreek een hele hoop grafieken en geef convergentiefactor en orde.

Examenvraag 15

waarom is 0.1*3 niet hetzelfde als 0.3 (= 0,1 en 0,3 worden niet juist voorgesteld)

  • Zie examenvraag 1

Examenvraag 16

Stel de hermite interpolerende veelterm van graad 3 door ( en ) en (, )

Examenvraag 17

Gegeven de methode van Newton Raphson. Verklaar de relatieve fouten grafiek van een willekeurige 5de graads veelterm met 3 nulpunten en geef de convergentiesnelheid (hint: die is 0 )

Examenvraag 18

De methode van de machten (met scalering) voor beginvector . Benadering voor eigenvector bij eigenwaarde 5 geeft (was gegeven). Benadering van eigenector bij eigenwaarde 5 met startvector [0 1 0] geeft . De vector is geen veelvoud van . Verklaar in detail hoe dit kan. (hint: normalisatie beïnvloedt alleen het niet-overlopen, en NIET de componenten van je tov de andere eigenvectoren)

Examenvraag 19

Dubbel met examenvraag 5
(x-2)(x-4)...(x-30)
en dan diezelfde uitgewerkt.
De fouten verklaren die optreden bij de uitgewerkte veelterm.

Examenvraag 20

niet-lineaire stelsels, grafieken bespreken.

Examenvraag 21

Dubbel met examenvraag 2
QR factorisatie, Q, R, Q'b, etc gegeven, stond helemaal in de cursus

Examenvraag 22

Dubbel met examenvraag 5
Neem de examenvragenbundel mee, want daar staat de vraag helemaal in uitgewerkt (in het ding da ni in TeX is uitgewerkt). Je hebt een Wilkinsonachtige veelterm. (x-2)(x-47)...(x-18) of zo iets. Als ge die zo in matlab uitvoert, dan is da ne juiste grafiek. als ge die echter eerst laat uitrekenen, dan geeft die fouten. De fouten worden heel groot als x groter wordt. Hoe komt dat? Je moet zeker een uitwerking geven van fouten enzo. Het komt er dan op neer dat de fout drastisch groter zal worden als x groter wordt.

Examenvraag 23

Je hebt de methode van NR om een stelsel van twee niet-lineaire vgln op te lossen. Deze gaat even naar een vreemde waarde op de grafiek. Dit is omdat de startvector dicht bij een waarde ligt waar de jacobiaan singulier is (det J = 0) . Gevraagd is de convergentieorde -en factor gevraagd. Dan heb je dezelfde vgln (ook grafiekjes) van de totale stapmethode en enkelv. stapmeth. Ook is convergentieorde en -factor gevraagd. Je kan die een beetje afleiden uit het grafiekje van de rel. fout. (let op: bij de laatste was da lineair, maar 't was een randgeval of zo iets) De twee grafieken raken, dus zijn het allemaal randgevallen die ge moet geven als oplossing. Bij enkelv. stapmeth.: waarom convergeert da naar het andere punt? -> singulier gedoe van J. Hoe kunnen we dat naar het andere punt laten gaan?-> andere volgorde van vgl oplossen. Een prulvraag waar het vooral op de mondelinge verdediging aankomt.

Examenvraag 24

Je krijgt een willekeurige 8*10-matrix (A), de Q en R ervan. Ook heb je een willekeurige 8*1-vector b. Dan geven ze je Q'b=bt .
Gevraagd: min_(x)||Ax-b||_ 2 tot op twee cijfers na de komma.
Een methode hoe je dit moet berekenen.

Examenvraag 25

Gegeven is een functie f(x) = sin(x) in het interval (-pi,pi).
Gevraagd : geef een bovengrens op de interpolatie-fout als ge weet dat uw interpolerende veelterm p is die in n-1 interpolatiepunten interpoleert.

Examenvraag 26

Gaat over Newton-Raphson en het bepalen van sqrt(a). Ge krijgt een iteratie-functie gegeven. Gevraagd : de functie bepalen die als wortel sqrt(a) heeft. En dan wa analyseren.

Examenvraag 27

Gegeven een matrix en een startwaarde, bespreek dan wat er gebeurt als ge de methode van de machten toepast daarop.

Examenvraag 28

Examenvraag uit eerste oefenzitting

Examenvraag 29

Zij A een matrix waarbij alle elementen nul zijn behalve de elementen op de diagonaal en antidiagonaal. Schrijf een algoritme om het stelsel AX=B op te lossen.

Examenvraag 30

Stelsel van 2 niet-lineaire vergelijkingen. Convergentiegetal en -orde bepalen.

Examenvraag 31

Matrix [ a b; c d] met
a = 10^-5
b = 10^-5
c = 3 - a
d = ab - 2 / b
Startwaarde [1; 1]

Zoek convergentiegetal en orde en waarom is er zo'n grote fout?

Examenvraag 32

matrix met op eerste rij a1, a2,..., an en dan op de diagonaal onder de hoofddiagonaal allemaal eentjes en rest van elementen zijn 0.
Gegeven is dat λ1 > dan alle andere eigenwaardes.
Dan is het volgende proggrammake gegeven;

Kies X^(0) willekeurig
for i = 1 tot n
X^(i) = A * X^(i-1)

Scaleer deze zodat laatste component 1 wordt

Nu moet je bewijzen dat de voorlaatste component naar λ1 convergeert


Examenvraag 33

evalueren in en formule uitrekenen zoals ze hierboven gegeven is.
Doe foutenanalyse en geef gedetailleerd antwoord. Kan je de waarde berekenen met 7 juiste beduidende cijfers?

Examenvraag 34

Gauss eliminatie - stelsels van lineaire vergelijkingen

Is het mogelijk een analoog algoritme te maken met orthagonale transformaties? (zie hoofdst 13 sectie 13 in boek)


Stel eerst een methode op om de hoek phi te bepalen zodat voor gegeven vector x

 > x:= linalg[matrix] (2, 1, []);
 
 x:= []

de transformatie T (Givens rotatie)

 > T:= linalg[matrix]( 2, 2, [cos(phi), -sin(phi), sin(phi), cos(phi)] );
                                   
 T:= Linalg mat nw.gif

als resultaat oplevert.

 > T*x= linalg[matrix]( 2, 1, [alpha, 0] );
 
 Tx= [ , 0]

Ga ook na dat transformatie T orthogonaal is, dwz T vermenigvuldigd met zijn transpose is de eenheidsmatrix.
Is het orthogonaal zijn van T belangrijk voor de stabiliteit van een algoritme dat deze transformatie gebruikt om uitgaande van een niet-nul vector met 2 elementen een vector te maken waarvan het tweede element nul is?
Stel nu een algoritme op gebaseerd op de givens rotatie T analoog aan de eliminaatie methode van Gauss om een lineair stelsel van vergelijkingen op te lossen.
Wat is de hoeveelheid rekenwerk om de factorisatie op te bouwen?
Hoe ziet deze factorisatie eruit?
Hoe bereken je de uiteindelijke oplossing uitgaande van het getransformeerde stelsel? Hoeveel rekenwerk vraagt dit?

Examenvraag 35

Beschouw volgend kleinste kwadraten probleem:
geg. een matrix A (met m rijen, n kolommen, m > n)
geg. vector b (met m componenten)
Gevraagd een vector x zodat

||Ax-b||2 minimaal is

Gevraagd: Opl v stelsels lineaire vergelijkingen
Geeft het conditiegetal de conditie van de relatieve fouten weer?
Bespreek conditie van kleinste kwadratenprobleem
Hoe kan je conditie van dit probleem karakteriseren?
Ja mag aannemen dat matrix A van volle rang is.

Examens

Examen 19 januari 2006

1) we hebben de functie f(x):exp(x^2)-1-x^2. Is deze numeriek stabiel? Bereken f(10^(-4)) met 10 beduidende juiste cijfers.

2) bewijs via de interpolatie van Lagrange dat voor -h<x<h geldt: f'(x)= (hier stond een vgl met f(0) en f(h) f(-h) , kortom gewoon de afgeleide van de Langrange veelterm die je berekent rond de punten -h,0 en h) +D(n)(x) en geef de laatste term exact. Mijn bijvraag:Waar is die D het grootst?

3) we hebben een functie F(x)=ax(1-x) en kiezen a=1/2. We zoeken de vaste punten van F, afh van a. Dan staat er een programmaatje gegeven in matlab en ne grafiek en de startwaarde is 2.01 en ge ziet da ge bij de eerste stap superdicht zit bij een vast punt, maar toch divergeert da. De vraag: leg grafiek uit en voor welke startwaarden krijgen we convergentie? Mijn bijvragen: hoe is de convergentie: lineair of superliniear of...? En wat is de convergentiefactor?

4) dat gaat over die factorisatie met singuliere waarden. Ze geven u al de nodige matrices (dus die met de singuliere waarden, V,U,b,Ub,...). De vraag is: geef min over x van de 2-norm van Ax-b tot op 2 beduidende cijfers en leg dan uit hoe je de x zou berekenen waarvoor dit min bereikt wordt (keigoe te doen met u slides daarover behalve dan dat er een fout in de slides staat, yi=bi/sigmai moet vervangen worden door yi=bi'/sigmai)

Examen 26 januari 2007 (wiskunde)

  1. Gegeven de formule . Bespreek de stabiliteit van deze formule voor . Geef een gedetailleerd antwoord op basis van foutenanalyse. Kan je de waarde voor met zeven beduidende cijfers bepalen?
  2. Beschouw de substitutieformule met a reëel. Voor welke waarden van a zijn er één/geen/meerdere vaste punten? Als er een vast punt is, wanneer convergeert de methode dan? Naar welk punt? Voor welke startwaarden? Ken je hiervoor een geschikt stopcriterium?
    • Bijvraag: voor welke a is er kwadratische convergentie?
  3. Een hele hoop Maple-code over het oplossen van een lineair stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden, met de methode van Newton-Raphson en die van Jacobi.
    • Waarom geeft de methode van Newton-Raphson al na een stap de juiste oplossing, op afrondingsfouten na? (bijvraag: is dit in het algemeen ook zo, maw: wordt de oplossing van een lineair stelsel met de methode van Newton-Raphson steeds na 1 iteratiestap gegeven?)
    • Bepaal de convergentiefactor en -orde van de methode van Jacobi.
    • Waarom convergeert de methode van Jacobi zo traag? (bijvraag: kan je dit grafisch ook verklaren?)
  4. Bespreek de conditie van de kleinste-kwadratenmethode. Je mag hierbij aannemen dat A van volle rang is.

Examen 29 januari 2007

  1. veelterm van de vorm (x-2)(x-4)...(x-30). Waarom wordt de fout groter naar gelang een groter nulpunt wordt gekozen.(merk wel op dat naar gelang x->30 dat de fout weer kleiner wordt aangezien ai daar 1 is. Gewoon uitwerken naar f(x) = y(x) + E(x) en dan E(x) afzonderen. Dit geeft |emach| SOM(i=0 ..15) |ai| x^i.
  2. Zij p(X) een veelterm van onbekende graad zodanig dat p(0) = 4, p(1) = 9, p(2) = 15 en p(3) = 18. Veronderstel dat alle gedeelde differenties van orde 4 gelijk zijn aan 1. Bepaal de coëfficiënt van x^3.
  3. niet-lineaire vergelijkingen. Je krijgt een stelsel van twee vergelijkingen en de jacobiaan ervan. Bespreek het rare verloop(oorzaak is de singulariteit van de jacobiaan met die startwaarden, dus wanneer de determinant van de jacobiaan gelijk is aan 0, met de berekening van deze determinant kan je bepalen welke startwaarden hier aan voldoen). Verder moet je ook de convergentiefactor en orde geven van de NR methode en de vereenvoudigde NR methodes.
  4. Je krijgt een matrix A, b en de QR vorm van A. Bereken minx ||Ax - B||. Welke methode gebruik je hiervoor? (kleinste kwadratenbenadering(slides) natuurlijk.)

Examen 8 juni 2007

examenvragen die de industrieel ingenieurs die het overgangsprogramma naar burgie volgen kregen (voor zover 'k het me nog herinner):

  1. Gegeven :

een fuctie f(x) van de 6de graad x = 1.1 is een nulpunt een hoop matlab-code die ik niet verstond (alle matlab-oefenzittingen gebrost :-s) uit de commentaar was duidelijk dat ze Newton-Raphson toepasten een grafiek waarin duidelijk is dat de fout telkens kleiner wordt tot ongeveer 40 iteratiestappen, en daarna terug omhoog schiet, en terug zacht naar beneden gaat (en zo herhaalt zich dat). (grafiek zag er zo uit \|\|\|\| )

Gevraagd: leg in detail deze grafiek uit kun je een betere methode bedenken?

oplossing : als ge de afgeleide van de gegeven functie berekent, dan is deze voor het opgegeven nulpunt ook nul, net zoals de derde en vierde afgeleide. We hebben dus te maken met een nulpunt met multipliciteit. => gevolg: newton-raphson = 1 - 0/0 Alternatief => Whittaker

  1. Gegeven:

Veelterm van nen bepaalde graad (5de graad?) De exacte integraal van deze veelterm van -1 tot 1 is een bepaalde waarde (waarde is gegeven) We gaan de integraal bepalen met twee kwadratuurformules. Weer matlabcode (:-s) x1 = -alfa, x2 = 0, x3 = alfa H1, H2 en H3 gegeven

Eerste kwadratuurformule: alfa heeft bepaalde waarde de waarde van de kwadratuurformule is exact de opgegeven waarde

Tweede kwadratuurformule: ander alfa waarde, de rest hetzelfde. de waarde van de kwadratuurfomule geeft nu een andere oplossing dan hierboven


Gevraagd: - kunnen we hieruit besluiten dat de nauwkeurigheidsgraad van de eerste kwadratuurformule beter is dan de tweede? (uiteraard niet... anders zou hij't zo niet vragen :-p) - bereken de nauwkeurigheidsgraad van de kwadratuurforumules

Oplossing: nauwkeurigheidsgraag van eerste was 2 en van tweede 5 (zie oefenzitting 8, opgave 3. en 4., in combinatie met p142 (en daarrond) in handboek)

  1. Gegeven:

f(x) = x² - x + 1 Weeral matlabcode (:-s) x* = 1 Door middel van substitutiemethodes word deze functie benaderd, ne keer langs links, en langs rechts (ik dacht voor x=0,9 en x=1,1) Twee grafieken gegeven, op de ene (x=0,9) zie je fout kleiner worden, op andere zie je fout groter worden. Verklaar.

Zie dus figuur 2.10 op pagina 221. Bijvraag was iets van convergentiefactor bepalen ofzo

  1. Gevraagd : wat gebeurd er als we "von Mises" op een matrix A uitvoeren met en een startvector X

A = [ 2 1 -1 | 0 3 -5 | 0 0 -2 ] en X = [ -1 | 1 | 1 ]

antwoord: normaal vinden we met von Mises (= Methode der machten) de grootste eigenwaarde. Nu niet, en dat komt omdat onze startwaarde toevallig een lineaire combinatie is van de twee andere eigenvectoren.

Examen 20 augustus 2007

VRAAG 1: Een Mapleprogramma voert onderstaande instructies uit, leg in detail uit waarom het programma besluit dat y niet gelijk is aan 0.3

  • x = 0.1
  • y = 3*0.1
  • if y == 0.3
  • then print "y is gelijk aan 0.3"
  • else print "y is niet gelijk aan 0.3".

Als uitvoer krijgen we

  • x = 1.0000000000e-1
  • y = 3.0000000000e-1
  • y is niet gelijk aan 0.3

VRAAG 2: examenvraag 9

VRAAG 3: Beschouw de substitutieformule met a reëel. Voor welke waarden van a zijn er één/geen/meerdere vaste punten? Als er een vast punt is, wanneer convergeert de methode dan? Naar welk punt? Voor welke startwaarden? Ken je hiervoor een geschikt stopcriterium?

VRAAG 4: wat maple code over de methode der machten. Een driehoekige matrix is gegeven, met zijn eigenwaarden 2, 3 en -2. De methode Verder is ook een startvector gegeven. De methode lijkt te convergeren naar 2, maar convergeert tenslotte toch naar 3, dit zie je in een grafiek. Vraag: leg de grafiek uit. (Dit is omdat de startvector kan geschreven worden als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van de matrix, en de component van de eigenvector bij 3 is zeer klein.) (Vraag uit een oude examenbundel, als ik eens tijd heb zal ik die ook eens inscanne

Examen 14 januari 2008 (informatica)

  1. Examenvraag 5
  2. Examenvraag 2 (minimale ||r|| bepalen en zeggen hoe je de vector x die daarbij hoort kunt vinden)
  3. Examenvraag 6
  4. Maple-sheet met stelsel van 2 niet-lineaire vergelijkingen en bijbehorende Jacobiaan gegeven. Grafieken van gewone newton-raphson en vereenvoudigde NR (enkelvoudige en totale stap methodes) -> Convergentieorde en -snelheid geven van beide methodes.

Examen 14 januari 2008 (1)

Exact hetzelfde examen als op 19 januari 2006.

Examen 14 januari 2008 (2)

Hetzelfde examen als 29 januari 2007.

Examen 18 januari 2008, voormiddag (informatica)

  1. Examenvraag 11
  2. Examenvraag 12
  3. Gegeven de methode van Newton Raphson. Verklaar de relatieve fouten grafiek van een willekeurige 5de graads veelterm met 3 nulpunten.
  4. Examenvraag 32

Examen 18 augustus 2008, voormiddag (informatica)

Zelfde als het herexamen van 20 augustus 2007.

Examen 8 juni 2009, namiddag

  1. Examenvraag 4
  2. Examenvraag 5
  3. Examenvraag 23
  4. Examenvraag 24