Meetkunde 2: verschil tussen versies

Ga naar: navigatie, zoeken
(Examens)
(Examens)
Regel 7: Regel 7:
 
===2009-06-17===
 
===2009-06-17===
  
===Theorie===
+
==Theorie==
  
 
#Beschouw <math>\mathbb{E}^3</math>. Een kromme <math>\alpha(t)</math> op een oppervlak is een ''hoofdkromme'' indien de afgeleide <math>\alpha^\prime (t)</math> steeds langs een hoofdrichting ligt, m.a.w. als <math>S\alpha^\prime (t)</math> evenredig is met <math>\alpha^\prime (t)</math> voor alle <math>t</math> (waarbij <math>S</math> de shape-operator voorstelt). Veronderstel nu dat een oppervlak <math>M</math> langs een kromme <math>\alpha(t)</math> raakt aan een sfeer met straal <math>R</math> en middelpunt <math>m</math>. Toon aan dat <math>\alpha(t)</math> een hoofdkromme is.
 
#Beschouw <math>\mathbb{E}^3</math>. Een kromme <math>\alpha(t)</math> op een oppervlak is een ''hoofdkromme'' indien de afgeleide <math>\alpha^\prime (t)</math> steeds langs een hoofdrichting ligt, m.a.w. als <math>S\alpha^\prime (t)</math> evenredig is met <math>\alpha^\prime (t)</math> voor alle <math>t</math> (waarbij <math>S</math> de shape-operator voorstelt). Veronderstel nu dat een oppervlak <math>M</math> langs een kromme <math>\alpha(t)</math> raakt aan een sfeer met straal <math>R</math> en middelpunt <math>m</math>. Toon aan dat <math>\alpha(t)</math> een hoofdkromme is.
Regel 15: Regel 15:
 
##Het poolhypervlak is de meetkundige plaats van alle punten die harmonisch toegevoegd zijn aan <math>P</math> ten opzichte van <math>l\cap\mathcal{H}</math>, waarbij <math>l</math> een variabele rechte is door <math>P</math>.
 
##Het poolhypervlak is de meetkundige plaats van alle punten die harmonisch toegevoegd zijn aan <math>P</math> ten opzichte van <math>l\cap\mathcal{H}</math>, waarbij <math>l</math> een variabele rechte is door <math>P</math>.
  
===Oefeningen===
+
==Oefeningen==
  
 
#Zij <math>\phi:\mathbb{R}P^2\rightarrow\mathbb{R}P^2</math> een projectieve afbeelding en <math>P\in\mathbb{R}P^2</math>.
 
#Zij <math>\phi:\mathbb{R}P^2\rightarrow\mathbb{R}P^2</math> een projectieve afbeelding en <math>P\in\mathbb{R}P^2</math>.
 
##Toon aan dat volgende twee uitspraken equivalent zijn.
 
##Toon aan dat volgende twee uitspraken equivalent zijn.
###Voor alle <math>Q\in\mathbb{R}P^2</math> zijn <math>P, Q, \phi(Q)</math> collineaire punten.
+
###Voor alle <math>Q\in\mathbb{R}P^2</math> zijn <math>P, Q, \phi(Q)</math> colineaire punten.
 
###Voor alle rechten <math>l</math> door <math>P</math> geldt dat <math>\phi(l)=l</math>.
 
###Voor alle rechten <math>l</math> door <math>P</math> geldt dat <math>\phi(l)=l</math>.
 
##Toon aan dat een punt <math>P</math> dat aan de voorwaarden van het voorgaande voldoet, een vast punt is.
 
##Toon aan dat een punt <math>P</math> dat aan de voorwaarden van het voorgaande voldoet, een vast punt is.

Versie van 17 jun 2009 om 20:47

Professor Franki Dillen
Joeri Van der Veken

Het examen bestaat uit een deel theorie, mondeling te verdedigen, en een deel oefeningen die enkel schriftelijk uit te werken zijn. Het examen is openboek. Dillen is hierbij zeer los: je kan steeds gewoon rechtstaan om naar het toilet te gaan, of om drinken of eten uit een nabije automaat te halen. Je krijgt 5 uur om alle vragen op te lossen. Cursus Meetkunde I, schrijfgerief en rekenmachine zijn toegelaten. In 2007-2008 is een deel gegeven door Joeri Van der Veken. Deze heeft dan ook een deel van het examen afgenomen.

Examens

2009-06-17

Theorie

  1. Beschouw . Een kromme op een oppervlak is een hoofdkromme indien de afgeleide steeds langs een hoofdrichting ligt, m.a.w. als evenredig is met voor alle (waarbij de shape-operator voorstelt). Veronderstel nu dat een oppervlak langs een kromme raakt aan een sfeer met straal en middelpunt . Toon aan dat een hoofdkromme is.
  2. Gegeven zijn een punt en een hyperkwadriek . Dan definiëren we het poolhypervlak van ten opzichte van als . Bewijs nu de volgende uitspraken.
    1. Het begrip poolhypervlak is een projectief invariant, m.a.w. .
    2. Als op het hyperkwadriek ligt, dan valt het poolhypervlak samen met het raakhypervlak aan in .
    3. Het poolhypervlak is de meetkundige plaats van alle punten die harmonisch toegevoegd zijn aan ten opzichte van , waarbij een variabele rechte is door .

Oefeningen

  1. Zij een projectieve afbeelding en .
    1. Toon aan dat volgende twee uitspraken equivalent zijn.
      1. Voor alle zijn colineaire punten.
      2. Voor alle rechten door geldt dat .
    2. Toon aan dat een punt dat aan de voorwaarden van het voorgaande voldoet, een vast punt is.
    3. Toon aan dat dit punt uniek is in het geval .
  2. Beschouw twee viervlakken en in . Veronderstel dat , , , en alle colineair zijn en dus op een gemeenschappelijke rechte liggen. Toon aan dat dan ook op deze rechte ligt.
  3. Bepaal de snijpunten en hun multipliciteiten van en .
  4. Beschouw een afbeelding .
    1. Bepaal hiervan de Gausskromming en de gemiddelde kromming.
    2. Veronderstel dat en . Toon aan dat als een minimaal oppervlak beschrijft, dat dan of met .

2008-06-13

Theorie

  1. Deze vragen moesten worden verdedigd bij Joeri
    1. Definieer de begrippen lineair systeem van hypervlakken in en as van een lineair systeem. Toon aan dat we m.b.v. het tweede een alternatieve definitie van het eerste kunnen geven.
    2. Gebruik deze begrippen om de veralgemeende duale wederkerigheid te formuleren en te bewijzen.
    3. Dualiseer de stelling van de trilineaire poollijn (oefenzitting 5 oefening 11).
      1. Bijvraag: maak een tekening.
      2. Bijvraag: als je bij deze stelling de rechte x op oneindig neemt, welke stelling krijg je dan?
  2. Deze vragen moesten worden verdedigd bij professor Dillen zelve. Zij een oppervlak, en zij een isometrie.
    1. Toon aan dat  := een oppervlak is. (Hint: bewijs dat als een oppervlaksegment is van ,  := een oppervlaksegment van is)
    2. Zij de geinduceerde lineaire afbeelding tussen de rakende ruimten. Toon aan dat = voor alle . Toon dan aan dat als de eenheidsnormaal is, dat een eenheidsnormaal op M' is.
    3. Toon aan dat .
    4. Besluit hieruit dat de Gauss kromming en de gemiddelde kromming isometrische invarianten zijn.
      1. Bijvraag: in de opgave staat niet wat precies bedoeld wordt met "Gauskromming is een isometrische invariant". Hoe heb je dit gedefinieerd?

Oefeningen

  1. Zij een projectieve transformatie met minstens 1 vast punt. Zij . Bewijs dan dat precies 2 vaste punten heeft en dat voor de dubbelverhouding niet afhangt van .
  2. Zij met een veelterm van graad . Zij de determinant van de matrix .
    1. Bewijs dat een homogene veelterm is en dat we dus zin kunnen geven aan .
    2. Bewijs dat: en leid hieruit af dat elk dubbelpunt van ook in ligt. (Hint: gebruik de identiteit van Euler)
    3. Bewijs dat een enkelvoudig punt van een buigpunt is dan en slechts dan indien het ook een punt is van . (Hint: je mag hierbij veronderstellen dat een projectieve invariant is en bijvoorbeeld het enkelvoudig punt kiezen en de raaklijn in .)
    4. Bewijs dat een derdegraadskromme die minstens 1 punt heeft dat geen buigpunt is ten hoogste 9 buigpunten kan hebben.
    5. Zoek alle buigpunten van het folium van descartes ()
  3. Beschouw de kromme in
    1. Geef een rationale parametrisatie die een bijectie induceert tussen en de enkelvoudige punten van .
    2. Geef de nodige en voldoende voorwaarden op zodat voor verschillende complexe getallen de raaklijnen aan door concurrent zijn.

2007-06-28

Theorie

  1. Definieer het begrip harmonisch puntenviertal. Definieer vervolgens de poollijn van een punt P ten opzichte van twee rechten. Geef een alternatieve definitie voor poollijn. Bespreek vervolgens de meetkundige constructie voor de poollijn van een punt.
  2. Beschouw een oppervlak en een oppervlaksegment van M. Zij
    1. Als een kromme is en , toon dan aan dat er een open deel met en een kromme bestaat zodat voor elke . (Hint: Gebruik dat x op een diffeomorfisme na lokaal van de vorm (u,v,f(u,v)) is.)
    2. Zij het eenheidsnormaal vectorveld. We noteren de beperking ook door . Toon aan dat .
    3. Beschouw twee oppervlakken en die elkaar snijden in een reguliere kromme. Zij een parametrisatie van deze kromme. We zeggen dat een hoofdkromme is van een oppervlak als en slechts als een eigenvector is van de Shape-operator S. Veronderstel dat de normalen en van de oppervlakken op een constante hoek maken met . Als . Toon aan dat , waarbij de shape-operator van is, en leid daaruit af dat een hoofdkromme is van als en slechts als een hoofdkromme is van .

Oefeningen

  1. Vind alle projectieve transformaties zodat en en zodat de rechte met vergelijking wordt afgebeeld op .
  2. Beschouw de stelling van de volledige vierzijde in het projectieve vlak. Als we één van de vier zijden als de rechte op oneindig nemen, formuleer dan de stelling in het affiene vlak, met enkel affiene begrippen. Maak een tekening.
  3. Zij een algebraïsche kromme in , gegeven door waarbij een veelterm van graad is. Zij . Definieer de -de poolkromme van ten opzicht van als .
    1. Bewijs dat deze poolkromme een projectieve invariant is (invariant voor projectieve transformaties).
    2. Zij een -voudig punt van met . Bewijs dat .
    3. Bewijs polaire wederkerigheid: .
    4. Wat krijg je voor als een ontaarde kegelsnede is? Bewijs.
  4. Zij een functie die minstens twee maal differentieerbaar is. Zij het omwentelingsoppervlak bepaald door , dus
    1. Bepaal de Gausskromming en de gemiddelde kromming.
    2. Neem nu . Maak een schets van het omwentelingsoppervlak en bespreek de Gauskromming ervan aan de hand daarvan.

2006-06-19

Theorie

  1. Definieer de begrippen enkelvoudig en meervoudig punt voor een willekeurig punt P van een algebraïsche kromme C = V(F) in aan de hand van het begrip snijpuntsmultipliciteit. Voer ook het begrip hoofdraaklijn in. Bespreek het geval dat P een dubbelpunt is grondig.
  2. Beschouw een oppervlak en een oppervlaksegment van M. Zij
    1. Als een kromme is en , toon dan aan dat er een open deel met en een kromme bestaat zodat voor elke .
    2. Zij het eenheidsnormaal vectorveld. We noteren de beperking ook door . Toon aan dat .
    3. Zij een raakvector met en zij H het vlak door p, opgespannen door en w. Dan snijdt H het oppervlak M in de omgeving van p in een kromme. Stel dat een booglengteparametrisatie is van deze kromme, dus en stel dat en . Toon aan dat de normale kromming in de richting van w gegeven is door waarbij de kromming is van , , in het bijzonder is als en als , met N het hoofdnormaalveld van α.
    4. Interpreteer dit resultaat. Geef in het bijzonder commentaar over de normale kromming van minimale oppervlakken.

Oefeningen

  1. Elke projectieve transformatie heeft minstens 1 vast punt. Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
  2. Zij een projectieve ruimte. Bewijs de volgende uitspraken (die we in de oefenzittingen gebruikt hebben):
    1. De doorsnede van 2 lineaire systemen in is opnieuw een lineair systeem, met als as de som van de assen van de oorspronkelijke lineare systemen.
    2. De som van 2 lineaire systemen in (gedefinieerd door de som van de overeenkomstige projectieve deelruimten van de duale ruimte te nemen) is opnieuw een lineair systeem, met als as de doorsnede van de assen van de oorspronkelijke lineaire systemen.
    1. Zij een natuurlijk getal. Argumenteer dat de verzameling van alle algebraïsche krommen van graad m in de structuur heeft van een projectieve ruimte. Schrijf de dimensie van deze ruimte in functie van m.
    2. Noteer met de standaard projectieve ijk in . Toon aan dat de verzameling van de vierdegraadskrommen in door en , met keerpunten in en met respectievelijk keerraaklijnen en , een projectieve deelruimte vormt van de vierdegraadskrommen in en bepaal haar dimensie.
  3. In is een niet-ontaarde parabool P gegeven met daarop 3 onderscheiden punten . Toon aan dat de normalen op P in en concurrent zijn als en slechts als het zwaartepunt van de driehoek op de as van P ligt.
    Hint: kies een geschikte Euclidische ijk en werk met een rationele parametervoorstelling voor P.
  4. Zij M het oppervlak in met vergelijking
    1. Bereken de gemiddelde kromming H en de Gausskromming K van M.
    2. Bereken en . Worden infimum en supremum bereikt? Zo ja, in welk punt?

2006-08-21

De vragen zijn niet zo volledig als vorige keer, ik had geen tijd om ze over te schrijven nu. Hopelijk zijn ze iets waard. Excuses voor eventuele fouten.

Theorie

  1. Zelfde als in eerste zit.
  2. Gegeven een compact oppervlak en een functie . We gaan bewijzen dat er een punt bestaat op het oppervlak zodat de Gausskromming strikt negatief is.
    1. Definieer . Neem een punt waar maximaal is, met . Bewijs dat .
    2. Neem . Definieer . Bewijs dat met Let wel dat de uitdrukking in het linkerlid misschien niet volledig correct is, maar het was alleszins iets van die strekking.
    3. Concludeer hieruit dat de kromming negatief is in dit punt.

Oefeningen

  1. Zij een projectieve transformatie van zodanig dat , en .
    1. Bewijs dat de identieke transformatie is.
    2. Zij een vast punt van . Bewijs dat .
  2. Zij en 2 lineare systemen van zodat ze geen hypervlak gemeen hebben. Neem een hypervlak uit . Dan bestaat er een bundel hypervlakken die zowel als een exemplaar uit en bevat. (Klopt deze vraag wel?)
    1. Dualiseer deze stelling naar .
    2. Dualiseer de stelling naar de assen van de lineaire systemen.
    3. Bewijs 1 van de 3 stellingen (de anderen volgen uit dualiteit).
  3. Wat is de meest algemene vergelijking van een kromme in die graad heeft, waarbij het punt een -voudig punt is, en waarvoor de rechten asymptoten zijn?
  4. Een tractrice is een functie met die voor elk punt voldoet aan de volgende eigenschap: de afstand van naar de x-as, gemeten volgens de raaklijn, is .
    1. Bewijs dat een tractrice voldoet aan volgende differentiaalvergelijking: .
    2. Als we het omwentelingslichaam, verkregen door een tractrice te wentelen rond de x-as, beschouwen, dan is de Gausskromming van dit lichaam constant en strikt negatief (denk ik). Bewijs dit.