Lineaire algebra

Prof. Stefaan Vaes

Didactisch Team

Academiejaar	Professor(en)	Assistent(en)
2019-2020	Professor1, Professor2	Assistent1, Assistent2
2020-2021	Professor1, Professor2	Assistent1, Assistent2

Algemene info

Lineaire algebra wordt gedoceerd door professor Stefaan Vaes (hij volgt Wim Veys op), en heeft de reputatie van een moeilijk vak. Dit is waarschijnlijk omdat het veel abstracter is dan de wiskundeleerstof uit het middelbaar. Het is dan ook even wennen aan abstracte begrippen als vectorruimte, lineaire afhankelijkheid, basis, inproduct... Het begrip matrix ken je waarschijnlijk al uit het middelbaar, en de kracht ervan komt hier pas echt tot z'n recht in de context van stelsels lineaire vergelijkingen en van lineaire transformaties.

Vanaf academiejaar 2015-2016 wordt dit vak gegeven door professor Stefaan Vaes. Het kan dus dat de examenvragen vanaf dat jaar een wat andere trend volgen.

Nuttige links

• Een YouTube-reeks die je helpt om lineaire algebra intuïtief te begrijpen op een hoog niveau. Een aanrader om (tijdens het semester al) te bekijken!
• Op de website van het handboek zijn de oplossingen van diverse oefeningen te vinden als je inlogd met je KULeuven account.
• Alternatief kan je (wat meer en uitgebreider) oefeningen maken op Mathmatize (gratis account aanmaken vereist).

Vakevaluatie

Elk puntje hieronder is iemands mening. Verander aub geen puntjes. Als je een andere mening hebt, gelieve ze onderaan toe te voegen.

Kwaliteit cursus (prijs, duidelijkheid, overeenkomst met les, ...)

• 2016: Voor wie de wiskundige uitleg de baas kan, is het handboek goed geschreven. Wie dat niet kan, is sowieso gesjareld met dit soort vakken.
• 2020: De studentencursus op deze wiki kan wonderen doen als je bijvoorbeeld een bewijs niet begrijpt (deze worden in de cursus vaak met niet al te veel uitleg uitgeschreven). Probeer er misschien eerst zelf wel aan uit te kunnen. Deze bewijzen, alsook de verschillende "voorbeelden" in de cursus kunnen nuttig zijn om de leerstof beter te begrijpen, lees deze dus zeker eens grondig (lees: stap voor stap, waarbij je jezelf ervan vergewist dat je het snapt) door tijdens het jaar.

Studiebelasting (aantal studiepunten in verhouding met bestede tijd)

• 2016: Qua inhoud niet veel, maar het is bewijsintensief. Zes studiepunten is accuraat. De tijd die de meesten nodig hebben om het ook te begrijpen is hier niet bij ingerekend.
• 2020: Dit vak is doenbaar als je vanaf het begin probeert mee te zijn met alles. Dit houdt ook in: zelf de cursus doornemen en zien dat je alles grondig begrijpt voor de blok begint! Het begin lijkt gemakkelijk (stelsels en matrices), maar het wordt al snel abstracter... Laat dit vak dus niet liggen tot aan de blok! Lineaire algebra vergt meer tijd dan een gemiddeld ander vak van 6 studiepunten, waardoor het misschien één van de enige vakken is die zijn 6 studiepunten echt waard is (in die zin dat je er 150 à 180 uur tijd aan besteed), voor mij persoonlijk toch. De tijd die je nodig hebt om het te begrijpen is naar mijn mening het grootste deel van het werk, aangezien het inhoudelijk inderdaad niet zo veel is en je alles vrij gemakkelijk onthoudt eens je het begrijpt.

Plaats binnen de opleiding (nodige voorkennis, overlap met andere vakken, relevantie van het vak,...)

• 2016: Binnen de opleiding informatica is dit helemaal anders dan wat je gewoon bent. Je moet het allemaal begrijpen tot op een diep niveau en zelf creatief genoeg kunnen zijn om bewijzen te vinden.

Manier van lesgeven bij hoorcolleges (snelheid, verstaanbaarheid, structuur, nut, ...)

• 2016: Prof. Vaes slaagt er wel in om een compromis te maken tussen algemeen en concreet.

Evaluatie oefenzittingen/labo's (nut, begeleiding, ...)

• 2016: Voor de slimme informatici zijn de oefenzittingen verplicht. Daar moet je vooral bewijzen bedenken en af en toe een paar rekenoefeningen maken. Ze leren je wel om zelf op niet helemaal evidente bewijzen te komen, wat nieuw is voor de meesten.
• 2020: [bachelor fysica] De oefeningen zijn nuttig om de leerstof iets beter te begrijpen, maar totaal niet representatief voor het examen (dat veel meer om puur inzicht draait i.p.v. rekenoefeningen). Probeer dus ook mee te zijn in de lessen en/of de cursus grondig door te nemen tijdens het jaar.

Examen (mate waarin het een weerspiegeling is van de cursus, examenvorm, ...)

• 2016: Een bewijs van een belangrijke stelling uit de cursus (hint: ze gaan nooit die van de hoofdstukken over matrices vragen), een kleiner bewijs dat ook gezien is, een paar waar/fout-vragen waarbij je zelf een bewijs moet geven, en voor de informatici, die "te slim zijn om onnuttige bewijzen vanbuiten te leren" nog wat rekenen, meestal met parameters. Pas wel op: voor de rekenoefeningen moet je de theorie ook tot op een diep niveau begrijpen.
• 2019: Interessant om te weten: voor het theoriegedeelte worden bewijzen van hoofdstuk 5 veel meer gevraagd dan de rest van het boek. Let bij je bewijzen op dat je alles in extreem veel detail opschrijft anders verlies je snel punten door iets wat "vanzelfsprekend" lijkt niet te vermelden (de bewijzen in de cursus zelf zijn meestal te summier). Vergeet ook niet om alle stappen van je redenering op het einde samen te vatten voor een conclusie (dit staat op een deel van de punten). Bij de oefeningen is er vaak een "truc" die theoriekennis vereist waarmee je de vraag veel gemakkelijker kunt oplossen (probeer bij het oplossen van de rekenvragen "lui" te zijn).
• 2020: Ongeveer een derde van de punten staat op één of twee bewijzen, letterlijk uit de cursus. Daarnaast is er ook altijd een oefening waarbij je een drietal uitspraken moet beoordelen als waar of niet waar met een bewijs voor waar of een tegenvoorbeeld voor niet waar. Bij de overige vragen moet je meestal ook iets aantonen dat niet letterlijk in de cursus staat, waarbij je gebruik maakt van de geziene theorema's. Een grondig inzicht van de leerstof verwerven is dus the key to succes bij dit vak!

Informatie over het examen

Het examen Lineaire Algebra is helemaal niet zo moeilijk als het vak op het eerste gezicht lijkt. Het examen is schriftelijk, dus je hoeft al geen rechtstreekse confrontatie met prof. Vaes aan te gaan. Het examen is gesloten boek, en je mag geen rekentoestel gebruiken.

Het examen begint met 1 of 2 theorievragen (kijk bij de examenvragen voor voorbeelden). Theorievragen kunnen bewijzen zijn, en indien het bewijzen zijn, hoeven het geen bewijzen te zijn die letterlijk in de cursus staan. Het is dus de bedoeling dat je min of meer ervaren raakt in het bewijzen van dingen. Af en toe wordt hierop geoefend in de oefenzittingen.

Verder bestaat de kans dat een vraag over een van de toepassingen gesteld wordt (vanaf academiejaar 2015-2016 behoorden de toepassingen niet meer tot de leerstof, maar kijk dit zeker na voor jouw jaar op Toledo). Je krijgt alle uitleg over die toepassing dan in een bijlage bij het examen, dus je hoeft ze niet van buiten te kennen. Deze vraag kan theoretisch geïnspireerd zijn, maar het kan ook een oefening zijn die concreet gebruik maakt van de theorie van de toepassing. Op het examen heb je waarschijnlijk te weinig tijd om je nog wegwijs te maken in de gegeven toepassing, dus zorg dat je de toepassingen vooraf grondig doorgenomen hebt (en ze verstaat).

De oefeningen zijn van heel uiteenlopende aard, maar meestal niks ondoenbaar (altijd volgens werkwijzen uit de oefenzittingen). Hier en daar kan soms wel eens *net iets meer* inzicht vereist zijn, dus blijf vooral rustig en geconcentreerd doorwerken. De laatste vraag is meestal een oefening in context van een bepaalde situatie of een verhaaltje, waar je meestal nogal wat inzicht en creativiteit goed kan gebruiken (dit komt niet echt meer voor de laatste jaren).

Uiteindelijk viel dit examen beter mee dan ik had verwacht, en dat bleek ook voor anderen zo te zijn. Zorg dat je zeker alles gestudeerd krijgt, en sla niks over uit tijdsnood. Je zou je dat anders beklagen op het examen in termen van deze oefening is helemaal niet zo moeilijk, en ik had ze zeker gekund als ik naar die theorie had gekeken.

Studentencursussen

Studentencursus Syd

Syd Kerckhove heeft in zijn jaar een studentencursus geschreven. Deze studentencursus is gebaseerd op de eerste editie van de cursus. Het kan dus zijn dat er verschil is in nummering van de stellingen en oefeningen.

Studentencursus Jonas & Michaël

(gebaseerd op tweede editie)

Google drive map met alle hoofdstukken (link geupdate 28/12/2021)

Samenvatting Eva

(gebaseerd op tweede editie)

Dit is eerder een handgeschreven samenvatting van heel het boek met eventueel extra uitleg uit de les erbij. Dit document is misschien eerder interessant voor zijn uitgewerkte bewijzen, dan voor de samenvatting. Eerst is het boek samengevat zonder stellingen en dergelijke te bewijzen. Alle bewijzen uit het boek (stellingen+opdrachten) bevinden zich uitgewerkt achteraan het document, vanaf de 59e pagina.

Samenvatting met bewijzen Lineaire algebra Eva

Samenvatting Els (2021-2022)

Digitale samenvatting met belangrijkste bewijzen uitgewerkt.

Samenvatting Lineaire Algebra Els

Oefeningen

Hier enkele scans van de oefenzittingen. Geen garanties betreffende correctheid maar ze zouden grotendeels ok moeten zijn.

Oefeningen

Oefeningen Jesse

Examens - Professor Vaes

Opmerking: Sinds 2006-2007 maken 'Duale ruimtes' en 'Bilineaire vormen' geen deel meer uit van de leerstof.

Academiejaar 2021-2022

Januari 2022

Examen januari 2022 (wiskunde/fysica) en bijhorend tex-bestand om eventuele fouten te verbeteren.

Modeloplossing examen januari 2022 (wiskunde/fysica)

Modeloplossing examen januari 2022 (wiskunde/fysica/informatica)

November 2021

Proefexamen november 2021 opgaven en modeloplossing (wiskunde/fysica)

Proefexamen november 2021 opgaven en modeloplossing (wiskunde/fysica/informatica)

Proefexamen november 2021 evaluatie (wiskunde/fysica/informatica)

Academiejaar 2020-2021

Door corona is het examen anders. Er waren 2 examenmomenten, één op 18 Januari en één op 25 Januari.

Opgave examen (+ oplossingen) van 18 Januari (wiskunde/fysica) met bijbehorend .tex bestand

Opgave examen van 25 Januari (informatica) met bijbehorend .tex bestand en modeloplossing.

November 2020

Proefexamen november 2020 (opgaven)

Modeloplossing bovenstaand proefexamen

Veelgemaakte fouten van bovenstaand proefexamen

Academiejaar 2019-2020

Opgave voor fysica en informatica. Wie onze fouten zou willen rechtzetten: het .tex-bestand.

November 2019

Proefexamen november 2019 (opgaven)

Proefexamen november 2019 (opgaven + oplossingen)

Academiejaar 2018-2019

Januari 2019

Examen Januari 2019 (Wis-Fys-Inf)

Academiejaar 2017-2018

Augustus 2018

Augustus 2018 (informatica) Vraag 5d kan anders zijn (orthogonaal/orthonormaal). Alvast mijn excuses!

Augustus 2018 (fysica)

Januari 2018

Januari 2018 (wiskunde en fysica)

Vragen 1 tot en met 4 van het examen kwamen overeen met die van wiskunde. Januari 2018 (vraag 5) (informatica)

Oktober 2017

Proefexamen oktober 2017 (opgave + oplossingen)

Academiejaar 2016-2017

Januari 2017

Januari 2017 (informatica)

November 2016

Proefexamen 22 november

Academiejaar 2015-2016

Januari 2016

Januari 2016 (informatica)

November 2015

Proefexamen

Examens - Professor Veys

Opmerking: Sinds 2006-2007 maken 'Duale ruimtes' en 'Bilineaire vormen' geen deel meer uit van de leerstof.

Academiejaar 2011-2012

Augustus 2012

Augustus 2012

Academiejaar 2010-2011

Januari 2011

Januari 2011

Academiejaar 2009-2010

Januari 2010

Examen LA januari 2010

Examen LA (W&F) augustus 2010

Augustus 2010

Examen LA (I) augustus 2010

Academiejaar 2008-2009

Januari 2009 (Informatica)

pdf: Examen LA (I) januari 2009

Januari 2009 (W&F)

1. Zij $V$ en $W$ eindigdimensionale vectorruimtes en ${\mathcal {A}}:V\to W$ een lineaire afbeelding. Formuleer en bewijs de dimensiestelling voor ${\mathcal {A}}$.
   • Zij $V$ een eindigdimensionale vectorruimte en ${\mathcal {E}}$ en ${\mathcal {F}}$ twee basissen voor $V$. Zij A de matrix van basisverandering van ${\mathcal {E}}$ naar ${\mathcal {F}}$ en B de matrix van basisverandering van ${\mathcal {F}}$ naar ${\mathcal {E}}$. Bewijs dat A en B elkaars inverse zijn.
   • Zij $V$ een eindigdimensionale inproductruimte en ${\mathcal {A}}:V\to V$ een orthogonale transformatie. Bewijs:
     • Elke eigenwaarde van ${\mathcal {A}}$ is $+1$ of $-1$.
     • ${\mathcal {A}}$ is altijd injectief.
     • Gelden deze eigenschappen ook als V oneindigdimensionaal is.
2. Beschouw in $\mathbb {R} ^{3}$ de verzameling
   $H:=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}|\sum _{i=1}^{3}a_{i}x_{i}=0,\sum _{i=1}^{3}b_{i}x_{i}=0\right\}$ met $a_{i},b_{i}\in \mathbb {R}$
   voor elke $i$.
   • Toon aan dat $H$ een lineaire deelruimte van $\mathbb {R} ^{3}$ is.
   • Toon aan dat de dimensie van H strikt positief is.
   • Bepaal concrete $a_{i}$ en $b_{i}$ zodat $\dim H=1$.
3. Beschouw twee matrices $A,B\in \mathbb {R} ^{3\times 3}$. Stel dat $A$ drie verschillende reële eigenwaarden $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ en $\lambda _{3}$ heeft met respectieve eigenruimten $L_{1}$, $L_{2}$ en $L_{3}$. Stel dat B twee verschillende reële eigenwaarden $\mu _{1}$ en $\mu _{2}$ heeft met respectieve eigenruimten $L:=\left\langle L_{1},L_{2}\right\rangle$ (de ruimte voorgebracht door $L_{1}$ en $L_{2}$) en $L_{3}$.
   • Bepaal de eigenwaarden en bijhorende eigenruimten van $AB$.
   • Argumenteer dat $AB=BA$.
4. Beschouw in $\mathbb {R} ^{4}$ de lineaire deelruimten $U=\left\langle (1,0,1,0),(1,a,0,a)\right\rangle$ en $W=\left\langle (-1,a,a^{2},0),(0,-1,0,1)\right\rangle$.
   • Bespreek dan $\dim(U^{\bot }+W)$ in functie van de parameter $a\in \mathbb {R}$. met $U^{\bot }$ bedoelen we het orthogonaal complement van U met betrekking tot het standaard inproduct.)
5. Zij $V,W,U$ eindigdimensionale vectorruimten en $f:V\to W$, $g:W\to U$ lineaire afbeeldingen.
   • Toon aan dat $\dim Im(g\circ f)\geq \dim Img+\dim Imf-\dim W$
   • (mogelijke hint: beschouw de beperking van g tot het beeld van f.)
   • Stel nu dat V = W = U en g = f. Construeer in dit geval een voorbeeld waarbij voorgaande ongelijkheid strikt is.
6. Zijn de volgende uitspraken waar of niet? Bespreek.
   • Zij $n\in \mathbb {N} _{0}$ en zij ${\mathcal {L}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ een injectieve lineaire afbeelding. Zij $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ een inverteerbare matrix. Dan bestaar er voor elke basis ${\mathcal {V}}$ van $\mathbb {R} ^{n}$ een basis ${\mathcal {W}}$ van $\mathbb {R} ^{n}$ zodat matrix $M_{{\mathcal {V}},{\mathcal {W}}}({\mathcal {L}})(={\mathcal {L}}_{{\mathcal {V}},{\mathcal {W}}})$ van ${\mathcal {L}}$ ten opzichte van de basissen ${\mathcal {V}}$ en ${\mathcal {W}}$ gegeven wordt door A.
   • Voor elke reëel getal $a\in \mathbb {R}$ stellen we ${\underline {a}}:=a-\left\lfloor a\right\rfloor$ waarbij $\left\lfloor a\right\rfloor$ het grootst geheel getal is kleiner dan of gelijk aan a. Zo geeft bijvoorbeeld voor $a=1.6$ dat a = 1.6 - 1 = 0.6. Wanneer we het halfopen interval $[0,1[\subset \mathbb {R}$ voorzien van een optelling $\oplus$ gedefineerd door $\forall a,b\in [0,1[:a\oplus b:={\underline {a+b}}$, en een scalaire vermenigvuldiging $\otimes$ gedefinieerd door $\forall \lambda \in \mathbb {R} ,a\in [0,1[:\lambda \otimes a:={\underline {\lambda \cdot a}}$, dan vormt dit een vectorruimte.

Academiejaar 2007-2008

Augustus (W&F)

1. Zij $V$ een vectorruimte. Bewijs dat een maximaal vrij deel van $V$ een basis is.
2. Zij ${\mathcal {L}}$ een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte. Zij $\lambda _{1}$ en $\lambda _{2}$ twee verschillende eigenwaarden van ${\mathcal {L}}$ met respectievelijk eigenvectoren $v_{1}$ en $v_{2}$. Bewijs dat $v_{1}$ en $v_{2}$ lineair onafhankelijk zijn.
3. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${\mathcal {A}}:V\to V$ een lineaire transformatie.
   • Leg uit wat een orthonormale basis van $V$ is.
   • Zij $A$ de matrix van ${\mathcal {A}}$ ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs: ${\mathcal {A}}$ is symmetrisch $\Leftrightarrow A^{T}=A$
4. Zij $U=\{A\in \mathbb {R} ^{3\times 3}|{\mbox{alle kolomsommen en rijsommen zijn nul}}\}$ (met kolomsom bedoelen we de som van de elementen op een bepaalde kolom, analoog voor rijsom). Ga na of U al dan niet een lineaire deelruimte is van $\mathbb {R} ^{3\times 3}$. Zoja, geef de dimensie en een basis.
5. Toon aan dat de verzameling van $(2\times 2)$-matrices over $\mathbb {R}$ die niet-diagonaliseerbaar zijn over $\mathbb {C}$ gelijk is aan: $U:=\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)\in \mathbb {R} ^{2\times 2}|(a-d)^{2}=-4bc\}\setminus \{\left({\begin{matrix}a&0\\0&a\end{matrix}}\right)\in \mathbb {R} ^{2\times 2}\}$
   • Is deze verzameling $U$ een lineaire deelruimte van $\mathbb {R} ^{2\times 2}$
   • Wat verandert er aan de verzameling U als we "niet-diagonaliseerbaar over $\mathbb {C}$" vervangen door "niet-diagonaliseerbaar over $\mathbb {R}$".
6. Bepaal de oplossingverzameling van volgende stelsel voor alle waarden van $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$:
   ${\begin{cases}\lambda x-2y+7z=-14\\y-2z=\lambda +4\\\lambda x-y+6\mu z=\lambda -12\end{cases}}$
   
7. Zij ${\mathcal {U}}$ een lineaire transformatie van de vectorruimte V.
   • Bewijs: $Ker({\mathcal {U}})\cap Im({\mathcal {U}})=\{o\}\Leftrightarrow Ker({\mathcal {U}}^{2})=Ker({\mathcal {U}})$
   • Veronderstel nu bovendien dat V een eindigdimensionale vectroruimte is. Toon dan het volgende aan: $Ker({\mathcal {U}})\cap Im({\mathcal {U}})=\{o\}\Rightarrow Ker({\mathcal {U}})+Im({\mathcal {U}})=V$
8. • Voor $n\in \mathbb {N} _{0}$ definiëren we het getal $d_{n}$ als de determinant van de volgende $(n\times n)$-matrix : $\left({\begin{matrix}2&1&0&0&&&\\1&2&1&0&&&\\0&1&2&1&&&\\0&0&1&2&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&2&1\\&&&&&1&2\end{matrix}}\right)$ Geef en bewijs een uitdrukking voor het getal $d_{n}$ als veelterm in n.
   • Zij $V$ een 3-dimensionale vectorruimte met basissen ${\mathcal {E}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ en ${\mathcal {F}}=\{f_{1},f_{2},f_{3}\}$. Stel dat de matrix van basisverandering van ${\mathcal {E}}$ naar ${\mathcal {F}}$ gegeven is door: ${\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}},{\mathcal {F}}}=\left({\begin{matrix}3&-1&5\\1&2&3\\2&4&7\end{matrix}}\right)$. Bepaal ${\mathcal {M}}_{{\mathcal {U}},{\mathcal {V}}}$ waarbij ${\mathcal {U}}=\{e_{3},e_{1},e_{2}\}$ en ${\mathcal {V}}=\{f_{1}+f_{2},f_{2},f_{3}+f_{2}\}$

14 januari 2008 (W&F)

Examen 14 januari 2008 (W&F)

Academiejaar 2006-2007

Augustus 2007 (W&F)

1. Bewijs dat de kolommenrang en rijenrang van een matrix gelijk zijn. Gebruik (eventueel) de Gauss-eliminatie, de dimensie stelling.
2. Zij V een reële vectorruimte en ${\mathcal {A}}$ de lineaire transformatie van $V$.
   • Definieer de begrippen eigenwaarde, eigenvector en eigenruimte van ${\mathcal {A}}$.
   • Zij $V$ nu eindigdimensionaal. Leg uit wat de karakteristieke veelterm is van ${\mathcal {A}}$ en bewijs voor $\lambda \in \mathbb {R} :\lambda$ is eigenwaarde van ${\mathcal {A}}\Leftrightarrow \lambda$ is een wortel van de karakteristieke veelterm van ${\mathcal {A}}$.
3. Bewijs dat de enige diagonaliseerbare nilpotente matrix gelijk is aan de nulmatrix.
   • Def.: matrix A noemen we nilpotent als er een $n\in \mathbb {N} _{0}$ bestaat waarvoor $\mathbb {} A^{n}=0$.
   • Is de voorwaarde diagonaliseerbaar noodzakelijk? Illustreer je antwoord.
4. Zijn volgende uitspraken WAAR of VALS? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
   • Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en $V=W\oplus W^{\prime }$ en $V=W\oplus W^{\prime \prime }$, dan is $W^{\prime }=W^{\prime \prime }$
   • Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en $V=W\oplus W^{\prime }$ en $V=W\oplus W^{\prime \prime }$, dan is $W^{\prime }\cong W^{\prime \prime }$
   • Zij V een oneindigdimensionale vectorruimte en $V=W\oplus W^{\prime }$ , dan zijn $W$ en $W^{\prime }$ ook oneindigdimensionaal.
5. Beschouw $\mathbb {R} [X,Y]_{\leq 2}={\begin{Bmatrix}aX^{2}+bXY+cY^{2}+dX+eY+f|a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R} \end{Bmatrix}}$ met de gewone optelling en scalaire vermenigvuldiging is dit een vectorruimte.
   • Toon aan dat de afbeelding ${\mathcal {A}}:\mathbb {R} [X,Y]_{\leq 2}\to \mathbb {R} [X]_{\leq 2}:f\mapsto f(X,2)$ lineair is.
   • Geef de matrix van deze afbeelding ten opzichte van de basissen ${\begin{Bmatrix}X^{2},XY,Y^{2},X,Y,1\end{Bmatrix}}$ van $\mathbb {R} [X,Y]_{\leq 2}$ en ${\begin{Bmatrix}X^{2},X,1\end{Bmatrix}}$ van $\mathbb {R} [X]_{\leq 2}$.
   • Is de afbeelding injectief? Surjectief? Wat is de rang van de lineaire afbeelding.
6. Beschouw voor $a\in \mathbb {R}$ het volgende stelsel ${\begin{cases}{\frac {a}{2}}x+y-z=-1\\(a-1)x+2y+(-a+4)z=0\\1x+(5-a)y+1z=1\end{cases}}$
   Voor welke waarden van $a$ heeft dit stelsel
   • oneindig veel oplossingen?
   • geen oplossing?
   • één oplossing?
7. Voor $A,B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, de vectorruimte van de $(n\times n)$-matrices, definiëren we $\left\langle A,B\right\rangle =Sp(A.B^{T})$
   • Toon aan dat dit een inproduct is.
   • We werken nu in deze inproductruimte voor $n=2$. Geef het orthogonaal complement van de deelruimte $V\subset \mathbb {R} ^{2\times 2}$, waarbij $V={\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}$

Januari 2007 (W&F)

1. • Bewijs dat $\left\langle S\right\rangle =\bigcap _{i\in I_{s}}U_{i}$ met $\forall i:U_{i}\subset S$
   • Stel dat een lineaire afbeelding twee verschillende eigenwaarden heeft. Bewijs dan dat de bijbehorende eigenvectoren lineair onafhankelijk zijn
2. Bewijs dat elke reeele symmetrische matrix een orthonormale basis heeft
3. $A$ is een nuldeler als $AB=0$, maar $A$ en $B$ niet gelijk aan nul.
   • Bewijs dat een matrix $A$ inverteerbaar is als en slechts als $A$ geen nuldeler is.
   • Nagaan of iets een inproduct is.
   • een orthonormale basis geven van een lineaire deelruimte met basis [(1,0,0,1),(1,0,1,0], er was een uitdrukking gegeven voor het inproduct
4. vraag met jaartal: 2007 als matrix-element
5. Bepaal bases V en W zoeken zodat de matrix A van de lineaire afbeelding van V naar W van de volgend vorm is $A=\left({\begin{matrix}I_{r}&0\\0&0\end{matrix}}\right)$.
6. Zij ${\mathcal {A}}:\mathbb {R} [X]_{\leq 2}\to \mathbb {R} [X]_{\leq 2}:ax^{2}+bx+c\to ax+bx+c+bx^{2}$
   • Zoek alle eigenwaarden en eigenvectoren en geef een basis van eigenvectoren indien mogelijk.
7. Zij een vectorruimte $V$ met een basis ${\mathcal {E}}(e_{1},e_{2},e_{3})$, en een deelruimte $W$ voortgebracht door $(e_{1},e_{2})$,
   • Bewijs dat er een basis bestaat waarvan geen enkel element in W zit.
   • Hetzelfde als het vraagje hierboven, maar dan algemeen. Zij $V$ een vectorruimte met dimensie $n$, $W$ een deelruimte van V met dimensie $m<n$.

Academiejaar 2005-2006

2006-09-05 (W&F)

1. Zij $V$ en $W$ eindigdimensionale vectorruimten over $\mathbb {R}$ en zij ${\mathcal {A}}:V\to W$ een lineaire afbeelding.
   • Formuleer en bewijs de dimensiestelling voor ${\mathcal {A}}$.
   • Mogen V en/of W ook oneindigdimensionale vectorruimten zijn in de stelling?
   • Waar of niet waar? ${\mathcal {A}}$ is een isomorfisme $\Leftrightarrow Ker({\mathcal {A}})={0}$
   • Geldt de stelling ook met een willekeurig veld K in plaats van $\mathbb {R}$?
2. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte met een bilineaire vorm $\langle ,\rangle$
   • Leg uit wat de matrix is van $\langle ,\rangle$ ten opzichte van een basis en definieer wanneer $\langle ,\rangle$ niet ontaard is.
   • Toon aan: $\langle ,\rangle$ is niet-ontaard $\Leftrightarrow \forall w\in V:[(\forall v\in V:\langle v,w\rangle =0)\Rightarrow w=0]$
3. Beschouw $U_{3}\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }$, de verzameling van de oneindige rijen $(a_{0},a_{1},a_{2},...)$ waarvoor geldt dat $a_{m}=a_{n}$ als $m-n$ deelbaar is door 3. Is $U_{3}$ een deelruimte van $\mathbb {R} ^{\infty }$? Indien ja, geef dan een basis en de dimensie van $U_{3}$. Indien neen, bepaal dan de deelruimte van $\mathbb {R} ^{\infty }$ voortgebracht door $U_{3}$. [Opmerking: $U_{3}={(a,b,c,a,b,c,a,b,c,...)|a,b,c\in \mathbb {R} }$]
4. Stel ${\mathcal {B}}={v_{1},v_{2},v_{3}}$ is een basis voor $\mathbb {R} ^{3}$ en ${\mathcal {A}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ de lineaire afbeelding waarvoor geldt dat
   i) de eigenruimte geassocieerd aan eigenwaarde 2 is voortgebracht door $v_{2}+v_{3}$
   ii) de eigenruimte geassocieerd aan eigenwaarde 1 is voortgebracht door $v_{3}$
   iii) $Ker({\mathcal {A}})=\{xv_{1}+yv_{2}+zv_{3}\ |\ x+y=x+z=0\}$
   • Geef de matrix A van ${\mathcal {A}}$ ten opzichte van ${\mathcal {B}}$.
   • Is A diagonaliseerbaar? Verklaar. Geef indien mogelijk matrices P en D met D diagonaalmatrix waarvoor geldt dat $P^{-1}AP=D$.
5. Zij $U=[(k,k+1,k+2)]$ en $V=[(-1,k,2),(2,1,k)]$ met $k\in \mathbb {R}$ twee deelruimten van $\mathbb {R} ^{3}$. Geef voor elke $k\in \mathbb {R}$ de doorsnede $U\cap V$.
6. Zij $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$. Toon aan dat als A rang 1 heeft, dat er twee matrices V en W bestaan, met $V\in \mathbb {R} ^{n\times 1}$ en $W\in \mathbb {R} ^{1\times m}$ zodat $A=V.W$
7. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte.
   • Voor een lineaire deelruimte $U\subset V$ definiëren we
     $U^{\circ }:=\{f\in V^{*}|f(U)=0\}=\{f\in V^{*}|f(u)=0\ \forall u\in U\}$
     . Bewijs dat $U^{\circ }$ een lineaire deelruimte is van $V^{*}$.
   • Zij W een lineaire deelruimte van V en zij $U=W^{\bot }$. Bewijs dat $V^{*}=W^{\circ }\oplus U^{\circ }$

Academiejaar 2003-2004

2004-01-13 (W&F)

1. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en ${\mathcal {A}}:V\to V$ een lineaire transformatie. Zij A de matrix van ${\mathcal {A}}$ ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs dat ${\mathcal {A}}$ orthogonaal is als en slechts als $A^{T}=A^{-1}$.
2. Zij $V$ een vectorruimte en zij $U_{1}$, $U_{2}$ en $U_{3}$ deelruimten van V.
   • Wat betekent $V=U_{1}\oplus U_{2}\oplus U_{3}$ ?
   • Zij V eindigdimensionaal. Bewijs dat als $V=U_{1}\oplus U_{2}\oplus U_{3}$, dat dan $\dim(V)=\sum _{i=1}^{3}\dim(U_{i})$.
3. Zij ${\mathcal {A}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ een lineaire afbeelding waarvoor ${\mathcal {A}}\circ {\mathcal {A}}=0$ en ${\mathcal {A}}\neq 0$.
   • Zij $v\in \mathbb {R} ^{3}$. Toon aan dat ${\mathcal {A}}(v)\in \ker({\mathcal {A}})$.
   • Toon aan dat $\ker({\mathcal {A}})$ tweedimensionaal is.
   • Zij $v\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \ker {\mathcal {A}}$ en zij $\{{\mathcal {A}}(v),w\}$ een basis van $\ker({\mathcal {A}})$. Bewijs dat ${\mathcal {U}}=\{v,{\mathcal {A}}(v),w\}$ een basis is van $\mathbb {R} ^{3}$.
   • Bepaal de matrix van ${\mathcal {A}}$ ten opzichte van ${\mathcal {U}}$.
4. Zij $\{e_{1},\cdots ,e_{n}\}$ een basis van een vectorruimte V en zij $\{\varphi _{1},\cdots ,\varphi _{n}\}$ een basis van de duale ruimte V*.
   • Toon aan dat ${\mathcal {A}}:V\to V:v\to \varphi _{1}(v)e_{1}+\cdots +\varphi _{n}(v)e_{n}$ een lineaire afbeelding is.
   • Toon aan dat ${\mathcal {A}}$ bovendien een isomorfisme van vectorruimten is.
5. Gegeven zijn ${\mathcal {B}}=\{X^{2},X,X^{2}+X+1\}$ en ${\mathcal {B}}'=\{X^{2},1,X\}$. Zij ${\mathcal {A}}:\mathbb {R} [X]_{\leq 2}\to \mathbb {R} [X]_{\leq 2}$ een lineaire afbeelding met
   ${\mathcal {M}}_{{\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'}(A)=\left({\begin{matrix}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{matrix}}\right)$
   waarbij m een reële parameter is.
   • Ga na dat ${\mathcal {B}}$ een basis is van $\mathbb {R} [X]_{\leq 2}$.
   • Wat is ${\mathcal {A}}(X^{2}+X+1)$?
   • Voor welke getallen m is ${\mathcal {A}}$ surjectief?
   • Als $m=2$, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb {R} [X]_{\leq 2}$ zodat $A(p)=-X^{2}+2X-1$.
6. Zij $A=\left({\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}}\right)\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$. Bepaal $A^{2004}$.
7. Waar of niet? Zij V een eendimensionale vectorruimte en zij $v\in V$ . Als $v\neq 0$, dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

2004-01-13 (informatica)

1. Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en ${\mathcal {A}}:V\to W$ een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:
   $\dim(V)=\dim(\ker {\mathcal {A}})+\dim(\operatorname {Im} {\mathcal {A}})$
2. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: $W^{\bot }=\{v\in V\ |\ v\bot w{\mbox{ voor alle }}w\in W\}$.
   • Bewijs dat $W^{\bot }$ een deelruimte is van V .
   • Leg uit wat dit betekent en bewijs: $V=W\oplus W^{\bot }$. Hint: begin met een orthonormale basis van $W$ te kiezen.
3. Zij $U=\left\langle (-1,2,3),(2,16,22),(8,14,18),(2,1,1)\right\rangle$ een lineaire deelruimte van $\mathbb {R} ^{3}$.
   • Geef een basis van $U$.
   • Wat is de dimensie van $U$?
   • Bestaat er een basis van $\mathbb {R} ^{3}$ die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.
4. Zij ${\mathcal {A}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ een lineaire afbeelding waarvoor ${\mathcal {A}}\circ {\mathcal {A}}=0$ en ${\mathcal {A}}\neq 0$.
   • Zij $v\in \mathbb {R} ^{3}$. Toon aan dat ${\mathcal {A}}(v)\in \ker({\mathcal {A}})$.
   • Toon aan dat $\ker({\mathcal {A}})$ tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
   • Zij $v\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \ker {\mathcal {A}}$ en zij $\{{\mathcal {A}}(v),w\}$ een basis van $\ker({\mathcal {A}})$. Bewijs dat ${\mathcal {U}}=\{v,{\mathcal {A}}(v),w\}$ een basis is van $\mathbb {R} ^{3}$.
   • Bepaal de matrix van ${\mathcal {A}}$ ten opzichte van ${\mathcal {U}}$.
5. Gegeven zijn ${\mathcal {B}}=\{X^{2},X,X^{2}+X+1\}$ en ${\mathcal {B}}'=\{X^{2},1,X\}$. Zij ${\mathcal {A}}:\mathbb {R} [X]_{\leq 2}\to \mathbb {R} [X]_{\leq 2}$ een lineaire afbeelding met
   ${\mathcal {M}}_{{\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'}(A)=\left({\begin{matrix}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{matrix}}\right)$
   waarbij m een reële parameter is.
   • Ga na dat ${\mathcal {B}}$ een basis is van $\mathbb {R} [X]_{\leq 2}$.
   • Wat is ${\mathcal {A}}(X^{2}+X+1)$?
   • Voor welke getallen m is ${\mathcal {A}}$ surjectief?
   • Als $m=2$, zoek dan de veeltermen $p\in \mathbb {R} [X]_{\leq 2}$ zodat $A(p)=-X^{2}+2X-1$.
6. Zij $A=\left({\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}}\right)\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$.
   • Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat $P^{-1}AP=D$
   • Bepaal $A^{2004}$.
7. Waar of niet? Zij V een eendimensionale vectorruimte en zij $v\in V$. Als $v\neq 0$, dan is $\{v\}$ een basis van $V$. Verklaar ook je antwoord.

Tussentijdse toetsen

2019-11-26

Proefexamen november 2019 (opgave + oplossingen)

2018-11-27

Proefexamen november 2018 (opgave + oplossingen)

2017-11-28

Proefexamen 2017 (opgaven en oplossingen)

2015-11-17

Proefexamen 2015 (opgaven en oplossingen)

2014-11-18

Proefexamen 2014 (opgaven en oplossingen)

2013-11-19

Proefexamen 2013 (opgaven en oplossingen)

2012-11-15

Proefexamen 2012 (opgaven)

Proefexamen 2012 (opgaven en oplossingen)

2011-11-17

Proefexamen 2011 (opgaven)

Proefexamen 2011 (opgaven en oplossingen)

2010-11-18

Proefexamen 2010 (opgaven en oplossingen)

2009-11-19

Proefexamen 2009 (opgaven)

Proefexamen 2009 (oplossingen)

2008-11-20

Proefexamen 2008 (opgaven)

Proefexamen 2008 (opgaven en oplossingen)

2007-11-23

Proefexamen 2007 (opgaven)

Proefexamen 2007 (opgaven en oplossingen)

2006-11-24

Proefexamen 2006 (opgaven)

2005-11-18

1. Zij ${\mathcal {A}}:V\to W$ een lineaire afbeelding tussen eindigdimensionale vectorruimten. Zij A de matrix van ${\mathcal {A}}$ ten opzicht van basissen ${\mathcal {E}}$ van V en ${\mathcal {F}}$ van W. Zij anderzijds A' de matrix van ${\mathcal {A}}$ ten opzichte van basissen ${\mathcal {E}}'$ van V en ${\mathcal {F}}'$ van W. Zij tenslotte P de matrix van basisverandering van ${\mathcal {E}}$ naar ${\mathcal {E}}'$ en Q de matrix van basisverandering van ${\mathcal {F}}$ naar ${\mathcal {F}}'$.
   Geef en bewijs de formule die A' uitdrukt in termen van A, P en Q.
2. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en U en W deelruimten van V zodat $U\cap W=\{0_{V}\}$.
   Toon aan dat er een deelruimte W' van V bestaat zodat $W\subset W'$ en $U\oplus W'=V$.
3. Gegeven zijn twee deelruimten
   $U_{a}=[(4+a,2,0,-2),(3,a-1,0,-1)]$
   $V_{a}=[(3,5,a+1,-5),(0,10+a,0,0)]$
   van $\mathbb {R} ^{4}$.
   Bepaal $\dim(U_{a}\cap V_{a})$ in functie van de reële parameter a.
   Merk op: Het is niet nodig om $U_{a}\cap V_{a}$ zelf expliciet te berekenen.
4. • Toon aan dat de vectoren $\cos$, $\sin$, en ${\text{Id}}$ uit de vectorruimte $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ lineair onafhankelijk zijn. Merk op dat bijvoorbeeld $\cos :\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\to \cos(x)$.
   • Beschouw de verzameling
     $U=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\ \|\ \exists a\in \mathbb {R} :f(a)=0\}$
     Is U een deelruimte van $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$? Verklaar je antwoord.

2004-11-??

1. Zijn U en W deelruimten van een eindigdimensionale vectorruimte .
   • Leg uit wat $U+W$ is.
   • Bewijs dat $\dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W$.
     (Hint: Kies op doordachte manier basisssen.)
2. Zijn V en W vectorruimten. We definiëren het product van V en W als de verzameling $V\times W=\left\{(v,w)\left|\,v\in V,\,w\in W\right.\right\}$. Met de optelling gedefinieerd door $(v_{1},w_{1})+(v_{2},w_{2})=(v_{1}+v_{2},w_{1}+w_{2})$ en de scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door $\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)$ wordt $V\times W$ dan zelf een vectorruimte. (Dit hoef je niet te bewijzen.) Toon aan dat $\dim(V\times W)=\dim V+\dim W$.
3. Zij k een reële parameter en zij $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ de standaardbasis van $\mathbb {R} ^{3}$. Zij v de vector met coördinaten (1, 1, -1) ten opzichte van deze basis. Zij $f_{k}$ de lineaire transformatie van $\mathbb {R} ^{3}$ waarvoor geldt dat $f_{k}(e_{1})=ke_{1}-ke_{2}+ke_{3}$, $f_{k}(e_{2})=-e_{1}+(2k-1)e_{2}+e_{3}$ en $f_{k}(e_{3})=2e_{1}-2ke_{2}-2e_{3}$.
   Voor welke waarden van k behoort v tot het beeld van $f_{k}$?
4. Geef een voorbeeld van een vectorruimte V en een strikte deelruimte $W\subsetneq V$ waarvoor geldt dat $V\cong W$. Bewijs ook dat je deelruimte aan de gevraagde voorwaarden voldoet.