Lineaire algebra

Ga naar: navigatie, zoeken
Prof. Stefaan Vaes

Inhoud

Algemene info

Lineaire algebra wordt gedoceerd door professor Stefaan Vaes (hij volgt Wim Veys op), en heeft de reputatie van een moeilijk vak. Dit is waarschijnlijk omdat het veel abstracter is dan de wiskundeleerstof uit het middelbaar. Het is dan ook even wennen aan abstracte begrippen als vectorruimte, lineaire afhankelijkheid, basis, inproduct... Het begrip matrix ken je waarschijnlijk al uit het middelbaar, en de kracht ervan komt hier pas echt tot z'n recht in de context van stelsels lineaire vergelijkingen en van lineaire transformaties.

Vanaf academiejaar 2015-2016 wordt dit vak gegeven door professor Stefaan Vaes. Het kan dus dat de examenvragen vanaf dat jaar een wat andere trend volgen.

Nuttige links

  • Een YouTube-reeks die je helpt om lineaire algebra intuïtief te begrijpen op een hoog niveau. Een aanrader om (tijdens het semester al) te bekijken!

Vakevaluatie

Elk puntje hieronder is iemands mening. Verander aub geen puntjes. Als je een andere mening hebt, gelieve ze onderaan toe te voegen.

Kwaliteit cursus (prijs, duidelijkheid, overeenkomst met les, ...)

  • 2016: Voor wie de wiskundige uitleg de baas kan is het handboek goed geschreven. Wie dat niet kan, is sowieso gesjareld met dit soort vakken.

Studiebelasting (aantal studiepunten in verhouding met bestede tijd)

  • 2016: Qua inhoud niet veel, maar het is bewijsintensief. Zes studiepunten is accuraat. De tijd die de meesten nodig hebben om het ook te begrijpen is hier niet bij ingerekend.

Plaats binnen de opleiding (nodige voorkennis, overlap met andere vakken, relevantie van het vak,...)

  • 2016: Binnen de opleiding informatica is dit helemaal anders dan wat je gewoon bent. Je moet het allemaal begrijpen tot op een diep niveau en zelf creatief genoeg kunnen zijn om bewijzen te vinden.

Manier van lesgeven bij hoorcolleges (snelheid, verstaanbaarheid, structuur, nut, ...)

  • 2016: Prof. Vaes slaagt er wel in om een compromis te maken tussen algemeen en concreet.

Evaluatie oefenzittingen/labo's (nut, begeleiding, ...)

  • 2016: Voor de slimme informatici zijn de oefenzittingen verplicht. Daar moet je vooral bewijzen bedenken en af en toe een paar rekenoefeningen maken. Ze leren je wel om zelf op niet helemaal evidente bewijzen te komen, wat nieuw is voor de meesten.

Examen (mate waarin het een weerspiegeling is van de cursus, examenvorm, ...)

  • 2016: Een bewijs van een belangrijke stelling uit de cursus (hint: ze gaan nooit die van de hoofdstukken over matrices vragen), een kleiner bewijs dat ook gezien is, een paar waar/fout-vragen waarbij je zelf een bewijs moet geven, en voor de informatici, die "te slim zijn om onnuttige bewijzen vanbuiten te leren" nog wat rekenen, meestal met parameters. Pas wel op: voor de rekenoefeningen moet je de theorie ook tot op een diep niveau begrijpen.

Informatie over het examen

Het examen Lineaire Algebra is helemaal niet zo moeilijk als het vak op het eerste zicht lijkt. Het examen is schriftelijk, dus je hoeft al geen rechtstreekse confrontatie met prof. Vaes aan te gaan. Het examen is gesloten boek, en je mag geen rekentoestel gebruiken.

Het examen begint met 1 of 2 theorievragen (kijk bij de examenvragen voor voorbeelden). Theorievragen kunnen bewijzen zijn, en indien het bewijzen zijn, hoeven het geen bewijzen te zijn die letterlijk in de cursus staan. Het is dus de bedoeling dat je min of meer ervaren raakt in het bewijzen van dingen. Af en toe wordt hierop geoefend in de oefenzittingen.

Verder bestaat de kans dat een vraag over een van de toepassingen gesteld wordt (vanaf academiejaar 2015-2016 behoorden de toepassingen niet meer tot de leerstof, maar kijk dit zeker na voor jouw jaar op Toledo). Je krijgt alle uitleg over die toepassing dan in een bijlage bij het examen, dus je hoeft ze niet van buiten te kennen. Deze vraag kan theoretisch geïnspireerd zijn, maar het kan ook een oefening zijn die concreet gebruik maakt van de theorie van de toepassing. Op het examen heb je waarschijnlijk te weinig tijd om je nog wegwijs te maken in de gegeven toepassing, dus zorg dat je de toepassingen vooraf grondig doorgenomen hebt (en ze verstaat).

De oefeningen zijn van heel uiteenlopende aard, maar meestal niks ondoenbaar (altijd volgens werkwijzen uit de oefenzittingen). Hier en daar kan soms wel eens *net iets meer* inzicht vereist zijn, dus blijf vooral rustig en geconcentreerd doorwerken. De laatste vraag is meestal een oefening in context van een bepaalde situatie of een verhaaltje, waar je meestal nogal wat inzicht en creativiteit goed kan gebruiken (dit komt niet echt meer voor de laatste jaren).

Uiteindelijk viel dit examen beter mee dan ik had verwacht, en dat bleek ook voor anderen zo te zijn. Zorg dat je zeker alles gestudeerd krijgt, en sla niks over uit tijdsnood. Je zou je dat anders beklagen op het examen in termen van deze oefening is helemaal niet zo moeilijk, en ik had ze zeker gekund als ik naar die theorie had gekeken.

Studentencursussen

Studentencursus Syd

Syd Kerckhove heeft in zijn jaar een studentencursus geschreven. Deze studentencursus is gebaseerd op de eerste editie van de cursus. Het kan dus zijn dat er verschil is in nummering van de stellingen en oefeningen.

Studentencursus Jonas & Michaël

(gebaseerd op tweede editie)

Google drive map met alle hoofdstukken

HF0: README: enkele opmerkingen bij deze samenvatting best te lezen!

HF1:Eerstegraadsvergelijkingen en matrices

HF2: Determinanten

HF3: Vectorruimten

HF4: Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties

HF5: Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseerbaarheid

HF6: Inproductruimten en Euclidische ruimten

Examens - Professor Vaes

Opmerking: Sinds 2006-2007 maken 'Duale ruimtes' en 'Bilineaire vormen' geen deel meer uit van de leerstof.


Academiejaar 2018-2019

Januari 2019

Examen Januari 2019 (Wis-Fys-Inf)

November 2018

Proefexamen november 2018 (opgave + oplossingen)

Academiejaar 2017-2018

Augustus 2018

Augustus 2018 (informatica) Vraag 5d kan anders zijn (orthogonaal/orthonormaal). Alvast mijn excuses!

Augustus 2018 (fysica)

Januari 2018

Januari 2018 (wiskunde en fysica)

Vragen 1 tot en met 4 van het examen kwamen overeen met die van wiskunde. Januari 2018 (vraag 5) (informatica)

Oktober 2017

Proefexamen oktober 2017 (opgave + oplossingen)

Academiejaar 2016-2017

Januari 2017

Januari 2017 (informatica)

November 2016

Proefexamen 22 november

Academiejaar 2015-2016

Januari 2016

Januari 2016 (informatica)

November 2015

Proefexamen

Examens - Professor Veys

Opmerking: Sinds 2006-2007 maken 'Duale ruimtes' en 'Bilineaire vormen' geen deel meer uit van de leerstof.

Academiejaar 2011-2012

Augustus 2012

Augustus 2012

Academiejaar 2010-2011

Januari 2011

Januari 2011

Academiejaar 2009-2010

Januari 2010

Examen LA januari 2010

Examen LA (W&F) augustus 2010

Augustus 2010

Examen LA (I) augustus 2010

Academiejaar 2008-2009

Januari 2009 (Informatica)

pdf: Examen LA (I) januari 2009

Januari 2009 (W&F)

  1. Zij en eindigdimensionale vectorruimtes en een lineaire afbeelding. Formuleer en bewijs de dimensiestelling voor .
    • Zij een eindigdimensionale vectorruimte en en twee basissen voor . Zij A de matrix van basisverandering van naar en B de matrix van basisverandering van naar . Bewijs dat A en B elkaars inverse zijn.
    • Zij een eindigdimensionale inproductruimte en een orthogonale transformatie. Bewijs:
      • Elke eigenwaarde van is of .
      • is altijd injectief.
      • Gelden deze eigenschappen ook als V oneindigdimensionaal is.
  2. Beschouw in de verzameling
    met
    voor elke .
    • Toon aan dat een lineaire deelruimte van is.
    • Toon aan dat de dimensie van H strikt positief is.
    • Bepaal concrete en zodat .
  3. Beschouw twee matrices . Stel dat drie verschillende reële eigenwaarden , en heeft met respectieve eigenruimten , en . Stel dat B twee verschillende reële eigenwaarden en heeft met respectieve eigenruimten (de ruimte voorgebracht door en ) en .
    • Bepaal de eigenwaarden en bijhorende eigenruimten van .
    • Argumenteer dat .
  4. Beschouw in de lineaire deelruimten en .
    • Bespreek dan in functie van de parameter . met bedoelen we het orthogonaal complement van U met betrekking tot het standaard inproduct.)
  5. Zij eindigdimensionale vectorruimten en , lineaire afbeeldingen.
    • Toon aan dat
    • (mogelijke hint: beschouw de beperking van g tot het beeld van f.)
    • Stel nu dat V = W = U en g = f. Construeer in dit geval een voorbeeld waarbij voorgaande ongelijkheid strikt is.
  6. Zijn de volgende uitspraken waar of niet? Bespreek.
    • Zij en zij een injectieve lineaire afbeelding. Zij een inverteerbare matrix. Dan bestaar er voor elke basis van een basis van zodat matrix van ten opzichte van de basissen en gegeven wordt door A.
    • Voor elke reëel getal stellen we waarbij het grootst geheel getal is kleiner dan of gelijk aan a. Zo geeft bijvoorbeeld voor dat a = 1.6 - 1 = 0.6. Wanneer we het halfopen interval voorzien van een optelling gedefineerd door , en een scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door , dan vormt dit een vectorruimte.

Academiejaar 2007-2008

Augustus (W&F)

  1. Zij een vectorruimte. Bewijs dat een maximaal vrij deel van een basis is.
  2. Zij een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte. Zij en twee verschillende eigenwaarden van met respectievelijk eigenvectoren en . Bewijs dat en lineair onafhankelijk zijn.
  3. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en een lineaire transformatie.
    • Leg uit wat een orthonormale basis van is.
    • Zij de matrix van ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs: is symmetrisch
  4. Zij (met kolomsom bedoelen we de som van de elementen op een bepaalde kolom, analoog voor rijsom). Ga na of U al dan niet een lineaire deelruimte is van . Zoja, geef de dimensie en een basis.
  5. Toon aan dat de verzameling van -matrices over die niet-diagonaliseerbaar zijn over gelijk is aan:
    • Is deze verzameling een lineaire deelruimte van
    • Wat verandert er aan de verzameling U als we "niet-diagonaliseerbaar over " vervangen door "niet-diagonaliseerbaar over ".
  6. Bepaal de oplossingverzameling van volgende stelsel voor alle waarden van :

  7. Zij een lineaire transformatie van de vectorruimte V.
    • Bewijs:
    • Veronderstel nu bovendien dat V een eindigdimensionale vectroruimte is. Toon dan het volgende aan:
    • Voor definiëren we het getal als de determinant van de volgende -matrix : Geef en bewijs een uitdrukking voor het getal als veelterm in n.
    • Zij een 3-dimensionale vectorruimte met basissen en . Stel dat de matrix van basisverandering van naar gegeven is door: . Bepaal waarbij en

14 januari 2008 (W&F)

Examen 14 januari 2008 (W&F)

Academiejaar 2006-2007

Augustus 2007 (W&F)

  1. Bewijs dat de kolommenrang en rijenrang van een matrix gelijk zijn. Gebruik (eventueel) de Gauss-eliminatie, de dimensie stelling.
  2. Zij V een reële vectorruimte en de lineaire transformatie van .
    • Definieer de begrippen eigenwaarde, eigenvector en eigenruimte van .
    • Zij nu eindigdimensionaal. Leg uit wat de karakteristieke veelterm is van en bewijs voor is eigenwaarde van is een wortel van de karakteristieke veelterm van .
  3. Bewijs dat de enige diagonaliseerbare nilpotente matrix gelijk is aan de nulmatrix.
    • Def.: matrix A noemen we nilpotent als er een bestaat waarvoor .
    • Is de voorwaarde diagonaliseerbaar noodzakelijk? Illustreer je antwoord.
  4. Zijn volgende uitspraken WAAR of VALS? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
    • Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en en , dan is
    • Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en en , dan is
    • Zij V een oneindigdimensionale vectorruimte en , dan zijn en ook oneindigdimensionaal.
  5. Beschouw met de gewone optelling en scalaire vermenigvuldiging is dit een vectorruimte.
    • Toon aan dat de afbeelding lineair is.
    • Geef de matrix van deze afbeelding ten opzichte van de basissen van en van .
    • Is de afbeelding injectief? Surjectief? Wat is de rang van de lineaire afbeelding.
  6. Beschouw voor het volgende stelsel
    Voor welke waarden van heeft dit stelsel
    • oneindig veel oplossingen?
    • geen oplossing?
    • één oplossing?
  7. Voor , de vectorruimte van de -matrices, definiëren we
    • Toon aan dat dit een inproduct is.
    • We werken nu in deze inproductruimte voor . Geef het orthogonaal complement van de deelruimte , waarbij

Januari 2007 (W&F)

    • Bewijs dat met
    • Stel dat een lineaire afbeelding twee verschillende eigenwaarden heeft. Bewijs dan dat de bijbehorende eigenvectoren lineair onafhankelijk zijn
  1. Bewijs dat elke reeele symmetrische matrix een orthonormale basis heeft
  2. is een nuldeler als , maar en niet gelijk aan nul.
    • Bewijs dat een matrix inverteerbaar is als en slechts als geen nuldeler is.
    • Nagaan of iets een inproduct is.
    • een orthonormale basis geven van een lineaire deelruimte met basis [(1,0,0,1),(1,0,1,0], er was een uitdrukking gegeven voor het inproduct
  3. vraag met jaartal: 2007 als matrix-element
  4. Bepaal bases V en W zoeken zodat de matrix A van de lineaire afbeelding van V naar W van de volgend vorm is .
  5. Zij
    • Zoek alle eigenwaarden en eigenvectoren en geef een basis van eigenvectoren indien mogelijk.
  6. Zij een vectorruimte met een basis , en een deelruimte voortgebracht door ,
    • Bewijs dat er een basis bestaat waarvan geen enkel element in W zit.
    • Hetzelfde als het vraagje hierboven, maar dan algemeen. Zij een vectorruimte met dimensie , een deelruimte van V met dimensie .

Academiejaar 2005-2006

2006-09-05 (W&F)

  1. Zij en eindigdimensionale vectorruimten over en zij een lineaire afbeelding.
    • Formuleer en bewijs de dimensiestelling voor .
    • Mogen V en/of W ook oneindigdimensionale vectorruimten zijn in de stelling?
    • Waar of niet waar? is een isomorfisme
    • Geldt de stelling ook met een willekeurig veld K in plaats van ?
  2. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte met een bilineaire vorm
    • Leg uit wat de matrix is van ten opzichte van een basis en definieer wanneer niet ontaard is.
    • Toon aan: is niet-ontaard
  3. Beschouw , de verzameling van de oneindige rijen waarvoor geldt dat als deelbaar is door 3. Is een deelruimte van ? Indien ja, geef dan een basis en de dimensie van . Indien neen, bepaal dan de deelruimte van voortgebracht door . [Opmerking: ]
  4. Stel is een basis voor en de lineaire afbeelding waarvoor geldt dat
    i) de eigenruimte geassocieerd aan eigenwaarde 2 is voortgebracht door
    ii) de eigenruimte geassocieerd aan eigenwaarde 1 is voortgebracht door
    iii)
    • Geef de matrix A van ten opzichte van .
    • Is A diagonaliseerbaar? Verklaar. Geef indien mogelijk matrices P en D met D diagonaalmatrix waarvoor geldt dat .
  5. Zij en met twee deelruimten van . Geef voor elke de doorsnede .
  6. Zij . Toon aan dat als A rang 1 heeft, dat er twee matrices V en W bestaan, met en zodat
  7. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte.
    • Voor een lineaire deelruimte definiëren we

      . Bewijs dat een lineaire deelruimte is van .
    • Zij W een lineaire deelruimte van V en zij . Bewijs dat

Academiejaar 2003-2004

2004-01-13 (W&F)

  1. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en een lineaire transformatie. Zij A de matrix van ten opzichte van een orthonormale basis van V. Bewijs dat orthogonaal is als en slechts als .
  2. Zij een vectorruimte en zij , en deelruimten van V.
    • Wat betekent  ?
    • Zij V eindigdimensionaal. Bewijs dat als , dat dan .
  3. Zij een lineaire afbeelding waarvoor en .
    • Zij . Toon aan dat .
    • Toon aan dat tweedimensionaal is.
    • Zij en zij een basis van . Bewijs dat een basis is van .
    • Bepaal de matrix van ten opzichte van .
  4. Zij een basis van een vectorruimte V en zij een basis van de duale ruimte V*.
    • Toon aan dat een lineaire afbeelding is.
    • Toon aan dat bovendien een isomorfisme van vectorruimten is.
  5. Gegeven zijn en . Zij een lineaire afbeelding met

    waarbij m een reële parameter is.
    • Ga na dat een basis is van .
    • Wat is ?
    • Voor welke getallen m is surjectief?
    • Als , zoek dan de veeltermen zodat .
  6. Zij . Bepaal .
  7. Waar of niet? Zij V een eendimensionale vectorruimte en zij . Als , dan is {v} een basis van V. Verklaar ook je antwoord.

2004-01-13 (informatica)

  1. Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten en een lineaire afbeelding. Bewijs de dimensiestelling:
  2. Zij V een eindigdimensionale inproductruimte en zij W een deelruimte van V. Ter herinnering: .
    • Bewijs dat een deelruimte is van V .
    • Leg uit wat dit betekent en bewijs: . Hint: begin met een orthonormale basis van te kiezen.
  3. Zij een lineaire deelruimte van .
    • Geef een basis van .
    • Wat is de dimensie van ?
    • Bestaat er een basis van die jouw gevonden basis van U bevat? Zo ja, geef dan zo'n basis.
  4. Zij een lineaire afbeelding waarvoor en .
    • Zij . Toon aan dat .
    • Toon aan dat tweedimensionaal is. Hint: Gebruik de dimensiestelling uit vraag 1.
    • Zij en zij een basis van . Bewijs dat een basis is van .
    • Bepaal de matrix van ten opzichte van .
  5. Gegeven zijn en . Zij een lineaire afbeelding met

    waarbij m een reële parameter is.
    • Ga na dat een basis is van .
    • Wat is ?
    • Voor welke getallen m is surjectief?
    • Als , zoek dan de veeltermen zodat .
  6. Zij .
    • Diagonaliseer A, zoek dus een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat
    • Bepaal .
  7. Waar of niet? Zij V een eendimensionale vectorruimte en zij . Als , dan is een basis van . Verklaar ook je antwoord.

Tussentijdse toetsen

2018-11-27

Proefexamen november 2018 (opgave + oplossingen)

2017-11-28

Proefexamen 2017 (opgaven en oplossingen)

2015-11-17

Proefexamen 2015 (opgaven en oplossingen)

2014-11-18

Proefexamen 2014 (opgaven en oplossingen)

2013-11-19

Proefexamen 2013 (opgaven en oplossingen)

2012-11-15

Proefexamen 2012 (opgaven)

Proefexamen 2012 (opgaven en oplossingen)

2011-11-17

Proefexamen 2011 (opgaven)

Proefexamen 2011 (opgaven en oplossingen)

2010-11-18

Proefexamen 2010 (opgaven en oplossingen)

2009-11-19

Proefexamen 2009 (opgaven)

Proefexamen 2009 (oplossingen)

2008-11-20

Proefexamen 2008 (opgaven)

Proefexamen 2008 (opgaven en oplossingen)

2007-11-23

Proefexamen 2007 (opgaven)

Proefexamen 2007 (opgaven en oplossingen)

2006-11-24

Proefexamen 2006 (opgaven)

2005-11-18

  1. Zij een lineaire afbeelding tussen eindigdimensionale vectorruimten. Zij A de matrix van ten opzicht van basissen van V en van W. Zij anderzijds A' de matrix van ten opzichte van basissen van V en van W. Zij tenslotte P de matrix van basisverandering van naar en Q de matrix van basisverandering van naar .
    Geef en bewijs de formule die A' uitdrukt in termen van A, P en Q.
  2. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en U en W deelruimten van V zodat .
    Toon aan dat er een deelruimte W' van V bestaat zodat en .
  3. Gegeven zijn twee deelruimten


    van .
    Bepaal in functie van de reële parameter a.
    Merk op: Het is niet nodig om zelf expliciet te berekenen.
    • Toon aan dat de vectoren , , en uit de vectorruimte lineair onafhankelijk zijn. Merk op dat bijvoorbeeld .
    • Beschouw de verzameling

      Is U een deelruimte van ? Verklaar je antwoord.

2004-11-??

  1. Zijn U en W deelruimten van een eindigdimensionale vectorruimte .
    • Leg uit wat is.
    • Bewijs dat .
      (Hint: Kies op doordachte manier basisssen.)
  2. Zijn V en W vectorruimten. We definiëren het product van V en W als de verzameling . Met de optelling gedefinieerd door en de scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door wordt dan zelf een vectorruimte. (Dit hoef je niet te bewijzen.) Toon aan dat .
  3. Zij k een reële parameter en zij de standaardbasis van . Zij v de vector met coördinaten (1, 1, -1) ten opzichte van deze basis. Zij de lineaire transformatie van waarvoor geldt dat , en .
    Voor welke waarden van k behoort v tot het beeld van ?
  4. Geef een voorbeeld van een vectorruimte V en een strikte deelruimte waarvoor geldt dat . Bewijs ook dat je deelruimte aan de gevraagde voorwaarden voldoet.