Kwantummechanica

Ga naar: navigatie, zoeken

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Informatie over het examen

Dit vak wordt door professor Joseph Indekeu aan de tweede bachelor fysica gegeven. Voorheen werd het vak ook nog door professor van Duppen en professor Van Riet gegeven.

Als handboek wordt er Bransden en Joachain gebruikt. Dit handboek is heel volledig en geeft degelijke, maar zeer droge uitleg. Indekeu geeft les aan de hand van zijn eigen nota's die soms wat onduidelijk zijn.

Het examen is gesloten boek met formularium en bestaat uit twee theorievragen en twee oefeningen. Zowel de theorie als oefeningen zijn mondeling met schriftelijke voorbereiding. Als theorievragen vraagt hij dingen die letterlijk in zijn nota's staan. Je krijgt 4 uur de tijd. In het begin overloopt professor Indekeu de opgaves en kan je hierbij vragen stellen. Na twee uur komt hij terug en kan je opnieuw vragen stellen. Vanaf 2 uur begint ook het mondeling. Als je een vraag afhebt kan je deze gaan verdedigen.

Examenvragen

Academiejaar 2018-2019

Dit is het formularium dat we dit jaar hebben gekregen. Dit kan veranderen over de jaren heen

Formularium 2018-2019

21 juni namiddag

Examen kwantum

ps. dat opgaveblad heeft effectief die lelijke layout

21 juni voormiddag

1) Leg de onzekerheidsrelatie (tip geef eerst de kwantummechanische definitie van ). Is het mogelijk om deze onzekerheidsrelatie af te leiden uit een variatieprincipe voor energie?

2) Leidt een uitdrukking af voor het spontaan overgangstempo. Volgende grootheden zijn gegeven: $$ W_{ba}^{(absorbtie)} = \frac{\pi \rho(\omega_{ba})}{3\hbar \epsilon_0} |D_{ba}|^2 $$ en $$ \rho(\omega) = \frac{\hbar \omega^3}{\pi^2 c^3} \frac{1}{e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1} $$ Beschouw thermisch evenwicht.

3) Beschouw de potentiaal: $$ V(x) = \left\{ \begin{matrix} \infty & x \leq 0 \\ \alpha\delta(x-\frac{a}{2}) & 0<x<a \\ \infty & x \geq a \end{matrix} \right. $$

hiervoor zijn de oplossingen gegeven door: $$ \left\{ \begin{matrix} A sin(kx) & 0 < x < \frac{a}{2} \\ B sin(k(x-a)) & \frac{a}{2} < x < a \end{matrix} \right. $$

3a) vind de aansluitingsvoorwaarden door continuïteit te eisen voor de golffunctie in maar een sprong toe te laten in de eerste afgeleide volgens volgende formule: $$ \left. \frac{\partial \psi}{\partial x} \right |_{x=\frac{a}{2} + \epsilon} - \left. \frac{\partial \psi}{\partial x} \right |_{x=\frac{a}{2} - \epsilon} = \frac{\hbar}{m} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} dx V(x) \psi(x) $$

3b) Indien zal er niet overgegaan kunnen worden van de ene put naar de andere. In dit geval is het systeem dubbel ontaard. Teken in dit geval de twee golffucties en geef de ontaarde energie.

3c) Indien niet als oneindig wordt genomen maar wel groot zal de grondtoestand opsplitsen. Teken beide nieuwe golffuncties en geef de nieuwe benaderde energie (de aangeslagen toestand kan zelfs exact bepaald worden). Stel nu dat er 2 niet interagerende fermionen in deze potentiaal gestoken worden (geen onderlinge interacties in de hameltoniaan) bespreek dan kwantitatief:

3c1) de grondtoestand van het systeem en geef de energie (benaderd)

3c2) de eerste aangeslagen toestand van het systeem en geef de energie (benaderd)

4) Bereken de Clebsch-Gordan coëfficiënten voor een deeltje met spin en angulair moment .

18 juni namiddag

1. Variatiemethoden bewijzen en uitleggen


2. We beschouwen N fermionen van spin s in een d-dimensionale doos met zijde L en geschikte randvoorwaarden. Bepaal de toestandsdichtheid n(E, V, m, s). Bereken voor temperatuur T = 0 de Fermidichtheid in functie van de Fermi-energie . Geef speciale aandacht aan d = 1, 2, 3. Watverandert er voor T > 0? (Het was gegeven dat de fermionen elektronen waren dus dat je s = 1/2 mocht nemen. Ook was het niet belengrijk dat je de volledige afleding in d-dimensies gaf. Je moest zolang mogelijk algemeen blijven maar het was zeker niet nodig om het volume van een bol in d-dimensies te kennen.)


3. Beschouw de Hamiltoniaan voor een deeltje in een elektromagnetisch veld (deze stond op het formularium). Beschouw in deze Hamiltoniaan nu de snelheidsvariabele . Met de toegevoegde impuls en de vector potentiaal. Onderzoek de onzekerheidsrelatie tussen en (of ) voor de keuze (met en ) en voor de keuze .


4. Beschouw de Hamiltoniaan . Schrijf de Shrödinger vergelijking voor deze Hamiltoniaan neer als je weet dat de toestand gegeven wordt door: . Verder weet je dat op tijdstip t = 0 het deeltje zich in toestand bevindt en dat en . Bepaal de overgangswaarschijnlijkheid . (Ter plekke gaf de prof nog wat tips voor als je al wat verder was met de berekening, je kon dan de coëfficiënten a omschrijven naar coëfficiënten b, dit maakte de notatie makkelijker. Op het mondelinge deel liet hij me ook weten dat je niet met perturbatietheorie moet werken maar het aan direct aan de hand van de SV best kunt oplossen.)

18 juni voormiddag

1. Toon aan dat de onzekerheidsrelaties tussen observabelen volgen uit de commutatierelaties tussen operatoren. Beschouw hiertoe een ket $$ (A+\lambda i B)\mid\psi\rangle $$ In de Hilbertruimte, met en observabelen, en

2. Toon aan dat deeltjes in twee soorten voorkomen: bosonen en fermionen. Doe dit door de golffunctie te beschouwen als complexe functie die moet voldoen aan enkele fysische en wiskundige eigenschappen onder de verwisselingsoperator .

3. Zelfde vraag als 17 juni voormiddag over halve SHO.

4. Bereken de Clebsch-Gordan coëfficiënten voor een deeltje met spin en angulair moment .

17 juni namiddag

  1. Pas dimensie analyse toe op het waterstofatoom om zo een benadering te vinden voor: a) de snelheid van het elektron, b) de atoomstraal in de grondtoestand, c) de energie van de grondtoestand, d) een typische tijdsschaal, e) bepaal ook indien mogelijk waar er relativistische correctie moet worden toegepast.
  2. WKB benadering afleiden vertrekkende vanuit de exacte oplossing voor een constant potentiaal naar een licht veranderend potentiaal
  3. spin-baan koppeling: er werd een storing gegeven op de hamiltoniaan voor het elektron in een waterstofatoom, men moest hiermee de energiecorrecties op E(n,l) bepalen. Dit was dezelfde vraag als van 22 juni 2018 in de namiddag.
  4. Pas het viriaal theorema toe op de harmonische oscillator in d=1 en d=3. Geef het verband met de klassieke harmonische oscillatie aan.

17 juni voormiddag

  1. Leid af dat je de waarschijnlijkheidsdichtheid van een deeltje aan een continuteitsvergelijking voldoet en leid een formule af voor de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid . Is er een behoudswet? Pas dit toe op een monochromatische vlakke golf in één dimensie.
  2. Toon met een voorbeeld aan dat de spin via de exchange-interactie invloed heeft op de energieniveaus, zelfs als de interactie-effecten verwaarloosd worden. Doe dit aan de hand van een specifiek voorbeeld. Hint: beschouw een atoom.
  3. Beschouw een potentiaal die links van oneindig is en rechts (harmonische oscillator).
  • Teken de potentiaal en de eigentoestanden van de Hamiltoniaan en geef het (exact) energiespectrum
  • De WKB-benadering geeft in dit geval de volgende kwantisatieregel:

$$ \int_{x_0}^{x_1} p(x)\,dx = \hbar \pi (n-\frac{1}{4}),$$ waar en de klassieke keerpunten zijn. Leid hieruit het benaderde energiespectrum af en vergelijk dit met je exacte oplossing uit de eerste deelvraag.

4. Beschouw de hamiltoniaan voor een deeltje in een elektromagnetisch veld (gegeven op het formularium). Leid een kwantummechanisch analogon voor de Lorentzkracht-wet af . Beschouw hiervoor de observabele , waar de toegevoegde impuls is. Tip: kijk naar de tijdsevolutie van de verwachtingswaarde

Academiejaar 2017-2018

22 Juni voormiddag

  1. Toon aan dat de momentum operator een infinitesimale voorbrenger is voor de translatie-operator.
  2. Bij een Heliumatoom wordt één van de spins van een electron omgedraaid, waarom kost dit energie en nog iets extreem wazig kwantitatief uitleggen.
  3. verval van een tritium atoom naar een positief geladen Helium-3 atoom. Gebruik tijdsafhankelijke perturbatietheorie en een paar bijvragen waaronder het bepalen van de nieuwe bohr-straal.
  4. Koppelen van 2 spin 1 deeltjes.


Examen 22 juni (NM)

Examen 19 juni (VM)

Academiejaar 2016-2017

Examen 20 juni 2017 (NM)

Examen 19 juni 2017 (NM)

Academiejaar 2015-2016

Examen 13 juni 2016 (VM)

Examen juni 2016 1

Examen juni 2016 2

Examen juni 2016 3

Examen juni 2016 4

Examen juni 2016 5

Academiejaar 2014-2015

Examen 15 juni 2015 (VM)

De tweede en derde vraag van examen van 15 juni in de voormiddag zijn identiek aan die van in de namiddag:

Examen 15 juni 2015 (NM)

Academiejaar 2013-2014

Examen juni 2014

Oplossingen examen juni 2014

Extra documenten

Oude examenoefeningen

Voorbeeldexamen

Oefening op een examen (1)

Oefening op een examen (2)

Oefening op een examen (3)

Oefening op een examen (4)

Oefening op een examen (5)

Uitgewerkte oefeningen

Niet-ontaard storingsrekenen

Examenvragen (van Duppen)

Academiejaar 2012-2013

Examen 17 januari 2013 (VM)

Examen 25 januari 2013 (NM)

Opgaven en oplossingen oefeningenexamen Kortrijk juni 2013

Opgaven en oplossingen oefeningenexamen (Kortrijk) - juni 2013

Academiejaar 2011-2012

19 januari 2012 (VM)

PDF: 19 januari 2012 (VM)

19 januari 2012 (NM)

Theorie

  1. Uitleg geven over storingsrekenen en dit dan toepassen op de NH3-molecule in een klein en constant elektrisch veld langs de x-as (W=-ED).
    • eerste orde energieniveaus en eigenvectoren berekenen.
    • tweede orde energieniveaus en eigenvectoren berekenen.
    • Wat leren we uit het feit dat een Stern-Gerlachexperiment een even of oneven spots toont?

Oefeningen

  1. Oef 4 uit het examen hierboven.
  2. Oef over potentiaal put waarbij de breedte(L) en diepte (S/L) waarbij S constant bleef en L naar nul ging. De discontinuïteit in de afgeleide was gegeven. Heel precies weet ik het niet meer, de oefening was te vergelijken met oefening 4.6.a
  3. Variatierekenen toepassen op een oneindige potentiaal put (-a a), met een zo eenvoudig mogelijke veelterm die voldoet aan de randvoorwaarden als genormeerde testfunctie. Bespreek en vergelijk dit resultaat met de waarde in het boek.

Oude examens

Academiejaar 2010-2011

17 januari 2011

Theorie

  1. Neem een toestand in de mixed representation en een Hamiltioniaan van de vorm . Toon aan dat je de Schrödingervergelijking kunt herschrijven als een stelsel van twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen. Doe dit nauwkeurig. Toelichting van de prof: begin met het zo algemeen mogelijk noteren van de golffunctie, geef aan hoe je aan de mixed representation zoals in het boek komt. De nadruk ligt bij deze vraag op het nauwkeurig en rigoureus werken. (3ptn)
  2. In de Hamiltioniaan van een geladen deeltje in een elektromagetisch veld komen enkel de potentialen voor, en niet de velden. Is dit logisch? Klopt dit wel? Toon in je redenering aan de hand van een voorbeeld aan dat er inderdaad met de potentialen moet gewerkt worden. Toelichting van de prof: het is hier niet de bedoeling zomaar het boek of de oefenzittingen over te schrijven, maar geef wel duidelijk en precies aan wat je bedoelt. (3ptn)
  3. Leg uit wat de exchange interaction is. Doe dit aan de hand van een eenvoudig fysisch systeem. Schrijf expliciet de toestandsfuncties op. Toelichting van de prof: neem aan dat de deeltjes elkaar niet beïnvloeden. (4ptn)

Oefening

Beschouw de eendimensionale harmonische oscillator met als storing .

  1. Herschrijf de Hamiltoniaan naar een overzichtelijker uitdrukking door het kiezen van een gepaste lengteschaal. (1pt)
  2. Bepaal de correctie op de energie in eerste orde (2ptn)
  3. Bepaal de correctie op de toestandsfuncties in eerste orde (4ptn)
  4. Bepaal de correctie op de energie in tweede orde. (2ptn)
  5. Evalueer de tweede-orde correctie op de energie voor de grondtoestand. (1pt)

Toelichting van de prof: deze vraag is heel wat rekenwerk, maar het blijft doenbaar als je het overzicht wat blijft houden. Gewoon doorzetten dus.

31 januari 2011

Theorie

  1. Beschouw een potentiaal van de vorm Los de Schrödingervergelijking op en geef de grondtoestand. Is er een gebonden toestand voor elke mogelijke ?
    • Stel dat de toestand van een systeem een superpositie is van eigentoestanden van de Hamiltoniaan. Geef een uitdrukking hiervoor en geef de tijdsevolutie.
    • Geef de tijdsevolutie van de energie
    • Stel dat je toestand een enkele eigentoestand is van de Hamiltoniaan. Geef de tijdsevolutie van de positie-operator.
  2. Twee identieke deeltjes bevinden zich in een harmonische oscillator. Een deeltje is in de grondtoestand en een deeltje bevindt zich in de eerste aangeslagen toestand. Geef de positiecorrelatie.
    • Herhaal deze oefening met het formalisme van de dichtheidsoperator

Oefening

Vrij lange oefening van 10 punten over de hyperfijnstructuur van positronium. Niet enorm moeilijk, speciaal was wel dat de eigentoestanden van de Zeeman-hamiltoniaan exact moesten worden uitgerekend ipv met perturbatietheorie zoals in het boek.

23 augustus 2011

Theorie

  1. Beschouw het singlet . Druk dit singlet uit in de basis met . Bespreek het antwoord. (2 ptn)
  2. Toon aan dat na een ijktransformatie een golffunctie een oplossing is van de Schrödingervergelijking als de oorspronkelijke golffunctie een oplossing was van de Schrödingervergelijking voor deze ijktransformatie. Toon aan als onafhankelijk is van de tijd de energieniveaus van de oorspronkelijke en de ijkgetransformeerde golffuntie samenvallen. (4 ptn)
  3. Geef een onzekerheidsrelatie voor en ? Bewijs deze wiskundig. Is er een geval waarin er geen 'onzekerheid' is? (4 ptn)

Oefening Een oefening over storingsrekening bij de harmonische ocillator. Beschouw een storing van de vorm .

  1. Herschrijf deze storing met een gepaste lengteschaal voor X, zodat ze overzichtelijker wordt. (2 ptn)
  2. Bereken de correctie op de energieniveaus in eerste orde. (2 ptn)
  3. Bereken de correctie op de golffunctie in eerste orde. (3 ptn)
  4. Bereken de correctie op de energieniveaus in tweede orde. (3 ptn)

Academiejaar 2009-2010

14 januari 2010

Theorie

  1. Gebruik een *onzekerheidsrelatie* om de stabiliteit van materie aan te tonen. Begin bij het waterstofatoom. Breidt daarna uw argumenten uit naar atomen met *veel elektronen* en geef ook de aangepaste vorm van de onzekerheidsrelatie. (4ptn)
  2. Geef twee voorbeelden, een microscopisch en een macroscopisch, van een fysisch systeem met gecorreleerde spin-en ruimtevariabelen. (3ptn)
  3. In de berekening aan het einde van hoofdstuk 15 staat een berekening voor -µ.B te berekenen. Daarin staat L = r x p, is dit wel correct want er geldt toch niet meer p = mv?

Oefening

We bepalen de grootte van , de anomalie van het magnetisch moment van het elektron. Een elektron, met massa m en lading q<0 beweegt in een statisch uniform magneetveld dat volgens de z-as gericht is. De Hamiltoniaan is . Hierin is A de vectorpotentiaal, met de keuze van de ijk zodanig dat A=BxR/2. De grootheid is het intrinsiek of "spin" magnetisch moment van het elektron. We schrijven . Hierin is a de anomalie (die nul is in Dirac's theorie). Kwantumelektrodynamica voorspelt met de fijnstructuurconstante (1/137). De cyclotronfrequentie noteren we met , de larmorprecessiefrequentie is .

  1. Bereken de 3 commutatoren [V,H] van de componenten van de snelheidsoperator met de Hamiltoniaan. Tip: bereken eerst de commutatoren van de componenten van V onderling. (2pt)
  2. Beschouw de drie verwachtingswaarden . Bepaal de tijdsevoluties van deze grootheden en toon dat ze een stelsel vormen van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coefficienten. Definieer . (2pt)
  3. Bepaal nu de algemene vorm van de verwachtingswaarde door gebruik te maken van de oplossen van het lineair differentiaalstelsel uit b). Nota: indien niet afhangt van de tijd kunnen we besluiten dat de snelheidsvector van het elektron en de spin van het elektron een even snelle precessie uitvoeren in het magnetisch veld. Indien wel afhangt van t dan zijn de twee frequenties (cyclotron en Larmor) niet gelijk aan elkaar, en dus is a verschillend van 0. (2pt)
  4. De figuur toont de experimentele resultaten voor voor een bundel elektronen in een magneetveld B = 9,4 * 10^-3 Tesla. Schat de numerieke waarde van de anomalie a door gebruik te maken van deze meetgegevens en uw analytisch resultaat verkregen in c). [Tekening gaf duidelijk een sinus/cosinusfunctie weer wat verschoven was op de verticale as. De tijdschaal was een periode van 3 microseconde.(3pt)
  5. Vergelijk uw resultaat voor a met de voorspelling van kwantumelektrodynamica. Werk nauwkeurig tot op drie relevante cijfers. (1pt)

21 januari 2010 (NM)

Theorie

  1. Stel dat men bij het Stern-Gerlach experiment een oneven aantal bundels hebt, wat kan je dan besluiten (2 punten, is te doen in twee zinnen)
  2. Bepaal de onzekerheidsrelatie voor N fermionen voor impuls en 1/r voor een coulombpotentiaal, analoog aan wat we in H16 voor een harmonische oscillator hebben gedaan.
  3. Bepaal voor een statistisch mengsel de gemiddelde energie van een 1-d harmonische oscillator. Doe dit in het canonisch ensemble. Interpreteer ook je resultaat in de limietgevallen van de temperatuur.

Oefening

Waterstofatoom in uitwendig homogeen elektrisch veld. Behandel met storingsrekenen.

  1. Zal de grondtoestand verstoord worden in eerste orde?
  2. Bepaal de matrix elementen van voor n=2. Doe dit door eerst te bepalen welke elementen wegvallen in de symmetrie van ons systeem (werk in bolcoordinaten). (veel werk: staat op 3 punten)
  3. Bepaal de niet nul matrix elementen.
  4. Schrijf H zo gemakkelijk mogelijk door de volgorde van je basisvectore te veranderen. (indien nodig)
  5. Bepaal de verstorigen van eerste orde voor n=2. Bepaal ook de bijbehorende eigenvectoren
  6. Stel de energie grafisch voor in functie van de sterkte van je elektrisch veld .
  7. Wat denk jij dat er gaat gebeuren voor tweede orde verstoring?

2 september 2010

Examen 2 september 2010 (VM)

6 september 2010

Theorie

  1. Stel C=i[A,B]. Wat voor soort observabele is C en geef drie kwalitatief verschillende voorbeelden van zo'n observabele.
  2. Toon aan dat de hand van twee spin-1/2 deeltjes aan dat de keuze van CSCO niet uniek is. Geef het verband tussen beide keuzes.
  3. Voor fermionen in een twee-demensionale doos geldt het volgende: en . Zoek p en C
  4. Aan te vullen door iemand anders...

Oefening

Dezelfde als 2 september 2010.

Academiejaar 2008-2009

13 januari 2009 (VM)

Theorie

  1. Bereken in een volume V de verwachtingswaarde van de snelheidsoperator V in de toestand gegeven door (3p)
  2. Hoe beschrijf je op een ondubbelzinnige manier de toestand van een systeem dat gekenmerkt wordt door een onvolledige meting. Neem als voorbeeld een harmonische oscilator in 2 dim, nadat een meting van de energie als resultaat had. Geef expliciet de wiskundige uitdrukking voor uw voorstel van oplossing zoek ook een geschikte benaming voor uw aanpak. (4p)
  3. Wat wordt (16.15) voor 1 deeltje ()? Bewijs uw resultaat. (3p)

Oefening

Positronium is een gebonden toestand van een elektron en een positron. We bestuderen de hyperfijn oplossing van de grondtoestand en het zeeman effect. Een positron is identiek aan een elektron maar heeft een tegengestelde lading.

  1. Schrijf de hamiltoniaan van de relatieve bewegingsvergelijking. En bepaal de gereduceerde massa (1p)
  2. Wat is de ontaarding van de grondtoestand zonder spin-spin interactie? Schrijf de gyromagnetische verhoudingen van respectievelijk het proton en het elektron in functie van de fundamentele deeltjes parameters. (1p)
  3. Beschouw de effectieve spin-spin interactie en bepaal de eigenwaarden en toestanden van H. (1p)
  4. Het zeeman effect treed op door het systeem te plaatsen in een constant uniform magneetveld De interactie is beschreven door de hamiltoniaan: . Geeft als functie van de eerder beschreven parameters. Bepaal de warking van H_z op de toestand als ook op de eigentoestanden van . (1p)
  5. Geef de matrix gedaante van in de gekoppelde basis, dit is de eigenbasis van H_{ss} (1p)
  6. Bereken de eigenwaarden en toestanden in het magnetisch veld. () en druk de eigentoestand uit in basis van de totale spin . (2p)
  7. Teken het energie diagram: E i.f.v. B. Ilustreer hoe de niveaus varieren als functie van B (2p)
  8. Bespreek de resultaten gevonden in punt 6) voor de eigenwaarden met behulp van storingsrekenen voor kleine B. Tot op welke orde in de storingsrekening moet men gaan om een zinvolle benadering voor het zeeman effect te krijgen? (1p)

16 januari 2009 (VM)

Theorie

  1. Toon aan dat voor tijdsonafhankelijke problemen het energiespectrum van de Hamiltoniaan invariant is onder een ijktransformatie. Tip: bereken de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan voor en na een ijktransformatie. (3pt)
  2. Toon aan de hand van één concreet fysisch systeem aan dat de keuze van een CSCO niet uniek is, maar dat de bijhorende eigenbasis wel uniek is. Breng de eigenbasissen van twee verschillende CSCO's voor je gekozen systeem met elkaar in verband. Maak dit verband expliciet voor de grondtoestand en voor de eerste aangeslagen toestand van je fysisch systeem (hou rekening met eventuele ontaarding). (4pt)
  3. Bestudeer de hyperfijnstructuur van de grondtoestand van het waterstofatoom in een magnetisch veld aan de hand van de Hamiltoniaan (13.33). Pas storingsrekening toe voor een klein magneetveeld . Geef eerst de matrixvoorstelling van de Hamiltoniaan in de eigenbasis van de ongestoorde Hamiltoniaan ( ). Bespreek de resultaten tot op eerste orde in de storingsrekening en geef het energiediagram als functie van . Bespreek vervolgens hoe de resultaten verder verbeteren in tweede orde storingsrekening, m.b.v. het energiediagram van Fig.13.2. (6pt)

Oefening

Beschouw de oneindig diepe putpotentiaal zoals aangegeven op de figuur. , elders. Zoek oplossingen voor gebonden toestanden onder de beperking dat met de totale energie. (1 punt per deelvraag a-e)

  1. Bepaal de wiskundige vorm van de golffuncties in de twee helften van de put.
  2. Bepaal de kwantisatievoorwaarde op , gegeven dat de putbreedte vast is.
  3. Illustreer deze voorwaarde grafisch en wijs de oplossingen aan.
  4. Vind een eenvoudige analytische benadering voor de oplossingen voor .
  5. Vergelijk deze benaderende oplossingen met de oplossingen voor de gewone put ().
  6. Schets zorgvuldig de eigenfuncties voor de laagste drie energieniveaus en vergelijk ze met de eigenfuncties voor de gewone put. (2pt)

17 augustus 2009

Theorie

  1. Beschouw de NH3 molecule in een zwak elektrisch veld volgens de -as. Behandel het probleem systematisch met behulp van storingsrekening, waarbij de storing bestaat uit de potentiële energie . Ga na of we een ontaarde dan wel niet-ontaarde storingsrekening moeten toepassen.
    • bereken de energieniveaus tot op eerste orde in de storing en schets het energiediagram
    • bereken de eigentoestanden tot op eerste orde
    • bereken de energieniveaus tot op tweede orde in de storing en schets het energiediagram

Vergelijk uw resultaten telkens (dus zowel in a, b als c) met de exacte resultaten die berekend werden voor willekeurige sterkte van . (6pt)

  1. Beschrijf met behulp van de gekende eigenfuncties van de Hamiltoniaan een toestand van het waterstofatoom, met zo laag mogelijke energie, waarvoor de gemiddelde positie van het elektron in de loop van de tijd een oscillatie uitvoert, langs een as doorheen de kern. Geef ook de uitdrukking voor de waarschijnlijkheidsdichtheid van deze toestand. Toon aan dat de toestand inderdaad oscilleert. Tip: leg de z-as van uw assenstelsel volgens deze as. (4pt)

Oefening

We bepalen de grootte van , de anomalie van het magnetisch moment van het elektron. Een elektron, met massa m en lading q<0 beweegt in een statisch uniform magneetveld dat volgens de z-as gericht is. De Hamiltoniaan is . Hierin is A de vectorpotentiaal, met de keuze van de ijk zodanig dat A=BxR/2. De grootheid is het intrinsiek of "spin" magnetisch moment van het elektron. We schrijven . Hierin is a de anomalie (die nul is in Dirac's theorie). Kwantumelektrodynamica voorspelt met de fijnstructuurconstante (1/137). De cyclotronfrequentie noteren we met , de larmorprecessiefrequentie is .

  1. Bereken de 3 commutatoren [V,H] van de componenten van de snelheidsoperator met de Hamiltoniaan. Tip: bereken eerst de commutatoren van de componenten van V onderling. (2pt)
  2. Beschouw de drie verwachtingswaarden . Bepaal de tijdsevoluties van deze grootheden en toon dat ze een stelsel vormen van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coefficienten. Definieer . (2pt)
  3. Bepaal nu de algemene vorm van de verwachtingswaarde door gebruik te maken van de oplossen van het lineair differentiaalstelsel uit b). Nota: indien niet afhangt van de tijd kunnen we besluiten dat de snelheidsvector van het elektron en de spin van het elektron een even snelle precessie uitvoeren in het magnetisch veld. Indien wel afhangt van t dan zijn de twee frequenties (cyclotron en Larmor) niet gelijk aan elkaar, en dus is a verschillend van 0. (2pt)
  4. De figuur toont de experimentele resultaten voor voor een bundel elektronen in een magneetveld B = 9,4 * 10^-3 Tesla. Schat de numerieke waarde van de anomalie a door gebruik te maken van deze meetgegevens en uw analytisch resultaat verkregen in c). [Tekening gaf duidelijk een sinus/cosinusfunctie weer wat verschoven was op de verticale as. De tijdschaal was een periode van 3 microseconde.(3pt)
  5. Vergelijk uw resultaat voor a met de voorspelling van kwantumelektrodynamica. Werk nauwkeurig tot op drie relevante cijfers. (1pt)

20 augustus 2009 (VM)

Examen 20 augustus 2009 (VM) (1/2)

Examen 20 augustus 2009 (VM) (2/2)

Academiejaar 2007-2008

18 augustus 2008

Theorie

  1. Hoe kan je de golflengte van een bewegend materiedeeltje (in een gas) beïnvloeden door omgevingsfactoren of uitwendige parameters? Geef twee duidelijk verschillende voorbeelden en geef formules en schattingen van numerieke waarden voor golflengte als functie van de relevante omgevings- of uitwendige parameters. (3 ptn)
  2. Gebruik een *onzekerheidsrelatie* om de stabiliteit van materie aan te tonen. Begin bij het waterstofatoom. Breidt daarna uw argumenten uit naar atomen met *veel elektronen* en geef ook de aangepaste vorm van de onzekerheidsrelatie. (3ptn)
  3. Beschouw de commutator van twee observabelen A en B. Ga na of je hiermee een nieuwe observabele kan vormen. Illustreer je argument met (minstens) twee concrete voorbeelden van commutatierelaties voor bekende fysische observabelen.
  4. Atoom in een (uniform) magneetveld. Toon aan dat (8.49) en (8.50) inderdaad impliceren dat de Schrödingervergelijking (8.45) voldaan is voor een toestand van de vorm (8.48). Gebruik hiervoor de gekoppelde differentiaalvergelijkingen die volgen uit (8.45). (3ptn)
  5. Dichtheidsoperator in het canonisch ensemble.
    • Geef de uitdrukking (d.w.z. de definitie) voor de gemiddelde energie <H> met behulp van de dichtheidsoperator
    • Beschouw de dichtheidsoperatoren verbonden aan de zuivere toestanden . Deze toestanden voldoen aan (er is geen ontaarding). Druk nu de canonische dichtheidsoperator uit als een superpositie van de dichtheidsoperatoren van de zuivere toestanden. Met andere woorden, bepaal de juiste coëfficiënten. (2ptn)

Oefening

Oefening examen 18 augustus 2008

14 januari 2008, namiddag

Theorie

  1. In diverse situaties werd gebruik gemaakt van de methode van "scheiding van veranderlijken" bij het oplossen van golfvergelijkingen. Geef drie voorbeelden. Welke wiskundige rol spelen de oplossingen die je zo bekomt? Wat is hun fysische betekenis? (3ptn)
  2. In welke drie fysische limieten wordt de transmissiekans voor het tunneleffect klein? Kan je deze drie limieten eenvoudig interpreteren door ze samen te vatten in een fysische voorwaarde? (3ptn)
  3. Bereken de toestandsdichtheid dN/dE als functie van E voor vrije elektronen in een doos met ribbe L in twee dimensies,d=2 (veronderstel oneindig hoge potentiaalwanden of periodieke randvoorwaarden). Bereken ook de gemiddelde kinetisch energie als functie van de Fermi-energie. Hoe veranderen deze resulaten voor d=1 en d=3? (4ptn)
  4. Toon aan dat . Bijvraag: waar hebben we dit soort commutatoren gebruikt? (2ptn)
  5. Geef twee voorbeelden, een microscopisch en een macroscopisch, van een fysisch systeem met gecorreleerde spin-en ruimtevariabelen. (3ptn)

Oefening

Bepaal exact de energieniveau's voor de potentiaal (in een dimensie): met de lading en het elektrisch veld. Bepaal hiervoor eerst de nieuwe evenwichtspositie die verkregen wordt wanneer het veld wordt aangezet. Maak vervolgens een tekening van de potentiaal met en zonder elektrisch veld. Interpreteer het probleem, herschrijf eventueel de potentiaal op een meer transparante manier en trek vervolgens uw conclusie voor wat betreft de eigenwaarden van de Hamiltoniaan. Bijvraag: hoe zien de eigenfuncties er nu uit? (5ptn)

14 januari 2008, voormiddag

Theorie

  1. Hoe kan je de golflengte van een materiedeeltje beïnvloeden door omgevingsfactoren of uitwendige parameters? Geef twee duidelijk verschillende voorbeelden en geef formules en numerieke waarden voor golflengte als functie van de relevante parameters.
  2. Gebruik een onzekerheidsrelatie om de stabiliteit van materie aan te tonen. Begin bij het waterstofatoom. Breidt daarna uw argumenten uit naar atomen met veel elektronen.
  3. Beschouw de commutator van twee observabelen en . Ga na of je hiermee een nieuwe observabele kan vormen. Illustreer je argument met (minstens) twee concrete voorbeelden van commutatierelaties voor bekende fysische observabelen.
  4. Atoom in een (uniform)magneetveld. Toon aan dat (8.49) en (8.50) inderdaad impliceren dat de Schrödingervgl. (8.45) voldaan is voor een toestand van de vorm (8.48). Gebruik hiervoor de gekoppelde differentiaalvgl. die volgen uit (8.45).
  5. Dichtheidsoperator in het canonische ensemble.
    • Geef de uitdrukking (d.w.z. de definitie) voor de gemiddelde energie <H> met behulp van de dichtheidsoperator.
    • Beschouw de dichtheidsoperatoren verbonden aan de zuivere toestanden . Deze toestanden voldoen aan H(er is geen ontaarding). Druk nu de canonische dichtheidsoperator uit als een superpositie van de dichtheidsoperatoren van de zuivere toestanden. M.a.w. bepaal de juiste coëfficiënten.

Oefening

Oefening examen 14 januari 2008

Academiejaar 2006-2007

Januari - Reeks 1

Theorie

  1. Verklaar de stabiliteit van de materie op 2 verschillende manieren.
  2. Opmerking 5, pagina 15: waarom staat hier in general? Verklaar deze affects op een meer preciese manier.
  3. Vergelijk periodische randvoorwaarden met gesloten (dit is bij oneindige putten) randvoorwaarden. Geef voor en nadelen
  4. Waarom zijn er bij l = n - 1 geen knopen (bij het H-atoom). Interpreteer.
  5. In de berekening aan het einde van hoofdstuk 15 staat een berekening voor -µ.B te berekenen. Daarin staat L = r x p, is dit wel correct want er geldt toch niet meer p = mv?

Oefeningen

  1. Zij en . Kwantiseer , en (het is gewoon de bedoeling de bijbehorende operator te construeren).
  2. Dubbele put met twee elektronen erin. Geef kwalitatief de mogelijke eigenfuncties en de energieniveaus. (Dus geen expliciete berekeningen, gewoon beetje in symbolen weergeven en de energieniveaus op een ladder zetten) Is er interactie (expliciet, impliciet?).

Januari - Reeks 2

Theorie

  1. Schat en voor de eendimensionale harmonische oscillator. Gebruik hiervoor de onzekerheidsrelaties. Vergelijk met de exacte uitkomsten.
  2. Potentiaalstap met , maar deeltjes komen van op de stap en gaan richting val. Bereken reflectie en transmissie coëfficienten. Beschouw .
  3. Gezever over Brillouinzones: heel moeilijk ;).

Oefeningen

  1. Beschouw de eendimensionale harmonische oscillator.
    • Hoe zou je toestanden kunnen krijgen die oscillaties geven voor ,
    • en een breathing mode?
  2. Variatie op oefening 6.1 uit het boek.

Januari - Reeks 3

Theorie

  1. (3ptn) Beschouw een vierkante dubbele potentiaalput zoals op figuur 4.7b. Bereken en teken de grondtoestand voor het hypothetische geval . Wat is de voorwaarde opdat er bij deze E een oplossing bestaat? Schets ook de eerste aangeslagen toestand, indien deze exact zou hebben.
  2. (2ptn) Een resonantieverschijnsel kan begrepen worden in termen van drie frequenties. Geef de oorsprong, betekenis en rol van deze frequenties in een fysisch voorbeeld.
  3. (3ptn) Geef twee voorbeelden, een microscopisch en een macroscopisch, van een fysisch systeem met gecorreleerde spin- en ruimtevariabelen.
  4. (2ptn) Werk uit: door gebruik te maken van de Hamiltoniaan van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld.
  5. (2ptn) Beschouw de dichtheidsoperator van een systeem beschreven in het canonisch ensemble:
    • Geef de uitdrukking voor de gemiddelde energie
  6. *Druk de dichtheidsoperator uit in termen van de dichtheidsoperatoren van de zuiveren toestanden , met (geen ontaarding).

Oefening

"Variatierekening" Gegeven , (geen ontaarding)

met de verwachtingswaarde en een willekeurige toestand.

Beschouw nu de eendimensionale harmonische oscillator,

en tracht de grondtoestandsenergie te benaderen door het minimum te zoeken van binnen de klasse van toestanden , als functie van .

Interpreteer de gevonden energie en toestand.

Tip. Gebruik bij uitwerking van .

September - Reeks 1

Theorie

  1. Schat de karakteristieke breedte van de grondtoestand, en de energie ervan, , voor de harmonische oscillator in 1 dimensie. Maak gebruik van de onzekerheidsrelatie. Vergelijk je resultaten met die van de exacte oplossing.
  2. Laat een flux van deeltjes van links komen en invallen op een potentiaalstap. De deeltjes zijn identiek en hebben . Bereken de reflectie- en transmissiekans. Bespreek ook het geval met steeds (diepe "val").
  3. Beschouw de periodieke potentiaal in 1 dimensie. Gegeven is de dispersierelatie (fig 7.1 p147). Neem voor de eigenfuncties van H de volgende benadering aan: , met een constante. Bij vinden we twee toestanden met verschillende energie maar dezelfde golflengte, nl. dezelfde k-waarde. Interpreteer. Schets voor deze twee toestanden in de periodieke .

Oefeningen

  1. Beschouw de grondtoestand en aangeslagen toestanden en van de eendimensionale vierkante putpotentiaal. Welke superpositie vertoont een tijdsonafhankelijke <X>(t), oscillaties in <X>(t) en een "breathing mode" in <X>(t)?
  2. Beschouw een molecule met drie atomen in een lineaire keten (Is eigenlijk oefening 6.1 pagina 133 mits enige aanpassing in de vragen) Bestudeer de toestanden van een elektron in deze molecule. Vertrek van de toestanden die eigentoestanden zijn van de positieoperator X: . In de basis is de Hamiltoniaan

met .

    • Bereken de energieniveaus en de eigentoestanden van H.
    • Beschouw de eerste aangeslagen toestand. Wat zijn de kansen om het elektron links, rechts of in het midden aan te treffen.
    • Stel dat het elektron in de toestand is, en we meten de energie. Welke uitslagen zijn mogelijk, met welke kans? Bereken en , alsook en in deze toestand.

Academiejaar 2005-2006

Januari - Reeks 1

  1. (niet meer relevant) Bespreek foto-elektrisch effect aan de hand van volgende gegevens (-> gegeven: 2 golflengten en hun Ek(max)) Bereken de maximale golflengte, de werkfunctie en de constante van Planck.
  2. Stel A en B fysische grootheden. Dan is D(A)*D(B)>=alfa Geef 4 voorbeelden (o.a. wanneer tijdsafhankelijke alfa, of alfa=0) Wat is de rol van de toestandsvector?
  3. Geef de eigenwaarden van S²=S*S (S is spin). geef ook de gemeenschappelijke basis met Sy
  4. Hamiltoniaan H heeft eigenwaarden E0<=E1<=...<=En Stel zijn gemiddelde is <H>=<f|H|f>/<f|f> (f is toestand) Toon aan dat <H> >=E0 -Harmonische oscilator: <x|H|f>=(-h'²/2m*d²/dx²+mw²x²/2)f(x) Kies f in de klasse f(x)=e^(-a*x²) Bereken het minimum van <H> in functie van a en bespreek.

Januari - Reeks 2

Theorie

  1. Wat bedoelt men met spin-baan koppeling? Hoe beïnvloedt dat de energieniveaus in het H-atoom?
  2. Een bundel neutrale spin-1/2 deeltjes met magnetisch moment m en snelheid wordt onderworpen aan een magnetisch veld . Bereken de opsplitsing van de bundel als het magnetisch moment over afstand actief is.

Oefeniningen

  1. Beschouw spin-1/2 systeem. Wat zijn de eigenwaarden en eigenvectoren van s_x+s_y? Stel dat de meting de hoogste waarde in oplevert, wat is dan de kans dat je bij meting s_z bij +h/2 terechtkomt?
  2. (niet meer relevant) Beschouw een H atoom en stel dat het proton in plaats van een puntbron voor het Coulombveld te zijn, een uniform geladen sfeer met straal R is. De Coulomb potential wordt dan vervangen door: V(r)=-3/2*e^(2)/R^(3)*(R^(2)-1/3*r^(2)) als r<R<<a_0 V(r)=-e^(2)/r als r>R met a_0 de Bohrse straal. Gebrik stoornisrekenen om de correctie van de energie te wijzigen in het grond niveau. Hoeveel eV is dit als R=10^(-13)cm ?

Januari - Reeks 3

Theorie

  1. Wat zegt het Pauli-principe? Welke zijn de gevolgen voor het samenstellen van 2 elektron spins? Hoe beïnvloedt dat het termschema van het He-atoom?
  2. Een elektron ondergaat de invloed van 2 magnetische velden: en . Op staat de spin langs de positieve z-as. Bereken, in functie van t, de waarschijnlijkheid om de spin langs de negatieve -as te vinden (formule van Rabi).

Oefeningen

  1. Beschouw 3 niet-identieke deeltjes met spin-1/2 met en voor . Zij de totale spin. Welke zijn, in termen van de , de genormeerde eigentoestanden van en ?
  2. De operator is de component van de elektronspin in de richting van de vector . ().
    • Bewijs dat .
    • Welke zijn de genormeerde eigentoestanden van en de bijbehorende eigenwaarden?