Analytische Mechanica

Ga naar: navigatie, zoeken

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Algemeen

Dit vak wordt door prof. Maes en prof. Van Proeyen gegeven aan de master fysica en sterrenkunde. Het deel van prof. Maes bestaat vooral uit een herhaling en uitdieping van de resultaten uit klassieke mechanica. Je woordenschat" fysica-Frans" gaat er ook enorm op vooruit gaan: de cursus van het deel van prof. Maes komt uit Louvain la Neuve en is dus in het Frans. Het deel van Van Proeyen behandelt de mechanica op een veel meetkundigere manier.

Ook het examen bestaat uit 2 delen die beide op evenveel punten staan. Het examen is zeker niet ondoenbaar, al moet je in het deel van prof. Van Proeyen wel genoeg tijd stoppen om de theorie degelijk te begrijpen. Prof. Maes geeft gedurende het jaar wel eens een paar mogelijke vragen tijdens zijn les, dit jaar werd er daar een van gevraagd. Deze vragen al eens uitwerken kan dus wel helpen.

Examens

Academiejaar 2013-2014

23 januari 2014

Deel Maes Examen 23 januari 2014 - deel Maes

Deel Van Riet Examen 23 januari 2014 - deel Van Riet

Academiejaar 2011-2012

26 januari 2012 (VM)

Deel Maes

Geen examenvragen.

Deel Van Proeyen

Examen 26 januari 2012 (VM) - deel Van Proeyen

26 januari 2012 (NM)

Deel Maes

We moesten hiervoor gewoon 10 oefeningen maken die hij de laatste les had gegeven. Tijdens het mondeling besprak hij dan een paar van die vragen en stelde hij bijvragen.

Deel Van Proeyen

  1. Neem als ruimte de sfeer in twee dimensies .
    • Wat is hier de rakende ruimte van?
    • Definieer de symplectische structuur hier nu op als volgt: zei en twee vectoren uit de rakende ruimte, . Toon aan dat dit een symplectische structuur is( hint: je moet niet rekenen aan dJ).
    • Kies nu een basis en geef
    • Wat is de groep van canonische transformaties hierop.
    • Geef zo een een-parameter voorstelling van een canonische transformatie
  2. Uw collega's deze voormiddag moesten aantonen dat de 5 eigenschappen van een Poisson haakje voldaan waren indien:
      • De oplossing van de oefening hieronder (de oplossing was gegeven, maar die ben ik vergeten)
    • Toon nu aan dat die eigenschappen voldaan zijn als J een symplectische structuur is.
    • We hebben ook de eigenschap Toon dit aan door gebruik te maken van de twee bovenstaande eigenschappen (dus niet gebruiken dat J een symplectische structuur is). Hint: Vernoem de variabelen goed, en gebruik veel symmetrieën.

Academiejaar 2008-2009

21 januari 2009

Deel Maes

  1. Gegeven is de Hamiltoniaan
    • bereken
    • bereken de Lagrangiaan
  2. De Lagrangiaan wordt in parabolische coördinaten gegeven door . Zoek en vind de Hamiltoniaan in functie van de geconjugeerde momenta , en .
  3. Beschouw de eendimensionale beweging in een potentiaal met .
    • Geef het faseportret
    • Toon aan dat de afgeleide naar de energie van de integraal gelijk is aan aan de periode

Deel Van Proeyen

Kwijt.

Academiejaar 2007-2008

Januari 2008

Deel Maes

  1. 2 functies in 3d waren gegeven en je moest onderzoeken of ze afleidbaar waren van een potentiaal
  2. Noteer met S de oppervlakte gevormd door een gesloten kromme in de faseruimte. Zoek een verband tussen en de periode van de beweging. Doe dit eerst voor de harmonische oscillator.
  3. Is de Lagrangiaan uniek? Bekijk een transformatie L naar L + f(t). Wanneer laat deze de fysica invariant? Wat bedoel je hier juist mee? En tot wat leiden coördinatentransformaties?
  4. Een punt met massa hangt via een star touw van lengte vast aan een punt met masse . Het punt kan op een horizontale as bewegen en hangt met een veer met veerconstante vast. Bereken de Lagrangiaan. Welk zijn de behouden grootheden?

Deel Van Proeyen

  1. Time dependent constraints in D'Alembert
    • Bekijk een coordinatentransformatie x = x(q,t). Toon aan dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn voor een dergelijke transformatie, vanuit het principe van D'Alembert.
    • Bekijk nu constraints f(x(q,t),t) = 0. We kunnen deze implementeren door aan de Lagrangiaan een term toe te voegen: . Toon aan dat de Euler Lagrange vergelijking voor de constraint impliceert.
    • De bewegingsvergelijking voor x gaat wijzigen. Toon aan dat deze verandering niet bijdraagt aan de termen in het bewijs uit puntje 1.
  2. Lagrange brackets Bekijk een coördinatentransformatie, zodat de coordinaten {x} gegeven zijn in functie van {u}. We definiëren de Lagrange brackets als volgt .
    • Toon aan dat de Lagrange brackets de getransponeerde van de inverse van de Poisson brackets zijn. Doe dit door aan te tonen dat PL = 1 (eenheidsmatrix) met en (de gebruikelijke Poisson haken dus).
    • Bereken de canonische Lagrange gebrackets ( en dergelijke) en toon aan dat ze gelijk zijn aan de canonische Poisson brackets.
    • Bekijk in de faseruimte van minimale dimensie f = 5q+p en g = 2p. Bereken de Lagrange en Poisson brackets van deze twee grootheden.
    • Toon aan dat een inverteerbare transformatie canonisch is als en slechts als ze de canonische Lagrange brackets behoudt.