Algebra 2

Ga naar: navigatie, zoeken

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

Academiejaar 2017-2018

Het vak werd gegeven door prof. Castryck.

Juni 2018

Examen juni 2018

Academiejaar 2015-2016

Het vak werd gegeven door prof. Huisman.

Juni 2016

Examen juni 2016

Oplossing examen juni 2016

Academiejaar 2014-2015

Juni 2015

Examen juni 2015

Academiejaar 2013-2014

Augustus 2014

Examen augustus 2014

Academiejaar 2012-2013

Juni 2013

Examen juni 2013

Academiejaar 2011-2012

Vanaf dit jaar wordt het vak gegeven door professor Nicaise, met een nieuwe cursus.

Januari 2012

We hadden 3,5 uur. Er werd gezegd dat 4 en 5c de moeilijkste vragen waren.

  1. Bepaal alle deelvelden van het ontbindingsveld van over .
  2. We noteren met het complex toegevoegde van een complex getal . Zij een deelveld van met eindige uitbreidingsgraad over . Zijn de volgende uitspraken waar of niet waar? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
    1. Als , dan is .
    2. Veronderstel dat een normale uitbreiding van is, dan is als .
  3. Zij een irreducibele separabele veelterm van de derde graad over een veld . Zij , en de wortels van in een ontbindingsveld.
    1. Toon aan dat , en de wortels zijn van een veelterm van graad over .
    2. Bepaal als .
    3. Bewijs dat het ontbindingsveld van over gelijk is aan het ontbindingsveld van over en dat irreducibel is.
  4. (oefening uit de cursus) Zij een verzameling en een abelse groep voor elke . Bewijs dat de verabelsing van het vrij product isomorf is met de groep met componentsgewijze vermenigvuldiging. Hier betekent "voor bijna alle" dat voor alle in op een eindig aantal na. Hint: gebruik de universele eigenschap van de verabelsing en van het vrij product.
  5. (Je mag gebruikmaken van de structuurstelling voor eindige commutatieve groepen.)
    1. Bewijs dat een groep waarin elk element (verschillend van ) orde heeft, commutatief is.
    2. Zij een niet-commutatieve groep met acht elementen. Geef presentaties voor en .
    3. Classificeer alle groepen van orde op isomorfisme na. Doe dit door uit elke isomorfieklasse een representant te nemen en te werken met presentaties. Bewijs dat een groep van orde altijd isomorf is met een van de representanten en dat deze niet onderling isomorf zijn.

Academiejaar 2010-2011

Januari 2011

    • Op pagina 9 van Galoistheorie staat in het bewijs van Stelling 2.2.5. "Het is gemakkelijk aan te tonen dat de afbeelding een isomorfisme is van vectorruimten over E". Toon aan dat deze afbeelding een injectie is.
    • In het deel over Hilbert's Nullstellensatz staat in Opmerking 1.4. "Het is niet waar dat de unie van een oneindig aantal algebraïsche verzamelingen steeds een algebraïsche verzameling is". Geef een voorbeeld van een oneindige unie van algebraïsche verzamelingen die geen algebraïsche verzameling is.
  1. Zij . In de oefenzitting hebben we aangetoond dat Galois is over en dat de Galoisgroep van over cyclisch is.
    • Geef een generator voor deze Galoisgroep.
    • Bepaal alle deelvelden van .
  2. Zij en E is het ontbindingsveld van een veelterm van graad n. Zij de verschillende wortels van f. We identificeren de Galoisgroep van E over K zoals in de cursus met een deelgroep van met behulp van het injectief groepshomomorfisme: . Definieer als volgt:
    • Toon aan dat .
    • Toon aan dat .
    • We identificeren via de Galoiscorrespondentie met een deelveld van E. Toon aan dat dit deelveld is.
    • Toon aan dat
  3. Waar of niet waar? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
    • Zij . Als er een automorfisme van E over K bestaat met , dan hebben a en b dezelfde minimale veelterm over K.
    • Zij . Als a en b dezelfde minimale veelterm over K hebben, dan bestaat er een automorfisme van E over K met .
  4. Geef een Gröbnerbasis van en bereken .

Academiejaar 2009-2010

15 januari 2010 (NM)

Examen 15 januari 2010 (NM) en haar oplossingen.

Academiejaar 2008-2009

Januari 2009

Examen januari 2009

September 2009

  1. Op pagina 25 staat Lemma 4.2.5. In het bewijs staat dat het makkelijk na te gaan is dat E' een radikale uitbreiding is van K en dat E' stabiel is ten opzichte van . Leg uitvoerig uit.
  2. Zij met n verschillend van 0. Beschouw H de deelgroep van de multiplicatieve groep van , voortgebracht door .
    • Bewijs dat H cyclisch is van orde n, en dat elk element van uw afbeeldt op een generator.
    • Vanaf nu is n = 12. Geef een afschatting N van het aantal elementen in .
    • Geef een veelterm van graad N met als wortel die irreducibel is over .
    • Bewijs dat galois is en leg uit hoe de galoisgroep eruit ziet (maw: met welke bekende groep is deze isomorf?) Antwoord was N=4, want enkel 1, 5, 7 en 11 zijn onderling ondeelbaar met 12. Galoisgroep is isomorf met Z_2 + Z_2
  3. Zij een Galois-velduitbreiding met Galoisgroep G en zij . Toon aan: de beelden van onder de elementen van G zijn allemaal verschillend.
  4. Geef twee veeltermen zodat {f, g} geen Grobnerbasis is voor <f, g> voor eender welke monomenordening. Mogelijk antwoord was x+1 en x. (hier moest wel nog extra uitleg bij waarom - uitleggen waarom 1 nooit groter dan x kan zijn voor een monomenordening.)
  5. Bekijk opmerking 1.3 van de blaadjes over Nullstellensatz.
    • Geef een voorbeeld van en een voorbeeld van
    • Is voor I, J idealen in een polynomenring met F een veld? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld! Antwoord was dat het wel degelijk gelijk was.

Academiejaar 2007-2008

28 januari 2008 (NM)

Het examen is (uiteraard) open boek. Je hebt vier uur tijd voor dit examen. Opgaven en oplossingen van het examen.

September 2008

  1. Lemma 4.55. Leg uit waarom de laatste zin van de eerste paragraaf in het bewijs van dat lemma waar is. "Thus an element of G is of order p if and only if it cyclically permutes roots of f."
    • Zij een velduitbreiding van graad 3 die Galois is. Zij een basis van L als vectorruimte over K en zij . Definieer Toon aan dat .
    • Zij een Galois-velduitbreiding met Galoisgroep G en zij . Toon aan: de beelden van onder de elementen van G zijn allemaal verschillend.
    • Bepaal de Galoisgroep van over . Met welke bekende groep is deze isomorf? Verklaar elke stap! (Je mag aannemen dat de vermelde polynoom irreducibel is over .)
    • Bepaal de Galoisgroep voor dezelfde polynoom over .
    • Zij . Is dit een Gröbnerbasis voor met . Indien wel, is ze dan ook minimaal en gereduceerd? Indien niet, geef dan een met f rem G 0.
    • Dezelfde vraag voor .

Academiejaar 2006-2007

15 januari 2007

Examen 15 januari 2007

Academiejaar 2002-2003

Januari 2003

  1. Waar is niet waar? (Bewijs of geef een tegenvoorbeeld)
    • Zij een velduitbreiding van graad 2. Dan is normaal over .
    • Zij . als de uitbreidingsgraad oneven is, dan is .
  2. Zij priem, en zij een complexe primitieve -de eenheidswortel. dan is de Galoisgroep isomorf met de multiplicatieve groep . Zij het unieke niet-triviale groepsmorfisme van naar {1,-1}, en stel .
    • Toon aan dat er een uniek deelveld van bestaat met uitbreidingsgraad 2 over .
    • Fixeer een isomorfisme . Bewijs dat, voor elk automorfisme , het beeld van onder gelijk is aan maal .
    • Toon aan dat .

Academiejaar 2001-2002

Januari 2002

  1. Zij een eindige uitbreiding van het veld . zij een niet nul veelterm over . Zij een deelverzameling van en veronderstel dat nul is op elk element van . Gebruik Galoistheorie om een niet nul veelterm over te construeren die nul is op elk element van .

Academiejaar 1999-2000

Januari 2000

  1. Zij .
    • Is ? Bepaal een minimale veelterm van over .
    • Bepaal en . Met welke groep is isomorf?
  2. Zij velden en een eindige separabele uitbreiding van . Toon aan: is normaal over voor elke velduitbreiding van en elk ringmorfisme met geldt: .

September 2000

    • ...
    • Waar of niet waar? Zij velden en met dezelfde minimale veelterm over . Veronderstel dat een eindige normale uitbreiding is over . Dan bestaat er een zodat .
  1. Zij een eindige normale uitbreiding van , met Galoisgroep .
    • Bewijs dat er bestaan zodat .
    • Geef de stabiele velden t.o.v. en .
  2. Geef een basis van de vectorruimte over het veld .