Algebra 1

Ga naar: navigatie, zoeken
WillemVeys.jpg

Samenvattingen

Klik hier om de samenvattingen te bekijken

- Notities van Syd

Inleiding

Algebra I is een vak ter waarde van 6 studiepunten, gegeven door professor Veys. De cursus bestaat uit ongeveer 180 bladzijden theorie en een aparte oefeningenbundel van ongeveer 20 bladzijden, beide verkrijgbaar bij Wina.

De leerstof is onder te verdelen in 4 stukken: groepen, ringen, velden en lineaire algebra.

Het examen bestaat uit 3 theorievragen en 4 oefeningen. De theorie is gesloten boek. De vragen komen letterlijk uit de cursus en twee ervan moeten later mondeling uitgelegd worden. Hij leest wel eerst je antwoorden, dus het is wel degelijk nodig dat je alles nauwkeurig uitschrijft. De derde theorievraag is enkel schriftelijk. Als je je theorie hebt afgegeven (na 1,5 uur ofzo), mag je je cursus bovenhalen en aan de oefeningen beginnen. Deze zijn puur schriftelijk. Je kan dus voor het mondeling nog eens in je cursus kijken naar de bewijzen.

Als je mondeling gedaan is stelt hij typisch nog wat "snelheidsvraagjes" om je inzicht te testen. Daarna mag je verder doen aan de oefeningen.

Je krijgt alles bij elkaar 5 uur tijd.

Handig om deze vakken gevolgd te hebben:

Lineaire Algebra & Algebraïsche structuren

Alle examens samen

Hier vind je alle examens Algebra I van deze examenwiki en andere examens Algebra I (soms ietwat andere syllabus) uit Gent en Antwerpen.

Examenvragen

19 januari 2017

19 januari 2017

14 januari 2016

Theorie

  • 1) a. Zij deelgroepen van een groep . Dan is als en slechts als een deelgroep is. b. Wat is de sterkste voorwaarde: is een normale deelgroep of ? verklaar.
  • 2) Zij een commutatieve ring met eenheid. Bewijs dat een ideaal priem is als en slechts als een integriteitsdomein is.
  • 3) Bewijs dat elk veld een uitbreiding heeft zodat elke veelterm in een wortel heeft in
  • mondelinge bijvragen: wat als maximaal is in vraag 2? Zijn maximale idealen priemidealen in de gehele getallen? in het algemeen? Geef een toepassing op algebra die we hebben gezien in de les (bv cryptografie, het discrete logaritme probleem)?

Oefeningen

    • zij een -groep en zij een normale deelgroep van orde . Bewijs dat in het centrum van is bevat als en slechts als een normaaldeler is van . (hint: bekijk conjugatieklassen van de elementen van N)
    • Zij twee idealen van een commutatieve ring met eenheid met . Toon de chinese reststelling aan: . Gebruik dit om de klassieke chinese reststelling aan te tonen.
    • . Bewijs dat een veld is. Waarmee is isomorf? Heeft de veelterm een wortel in het eindige veld van 125 elementen? Je moet geen expliciete wortel geven indien er één bestaat.
    • , bepaal de jordanvorm en een bijhorende conjugatiematrix. [ zijn gegeven]

27 augustus 2015

Herexamen 2015

15 januari 2015

Examen 15 Januari 2015

28 augustus 2012

Examen 28 augustus 2012

20 januari 2012

Examen 20 januari 2012

18 januari 2012

Theorie

  • 1) Formuleer en bewijs de isomorfismestelling (=morfismestelling) voor groepen. (Schriftelijk)
  • 2) Bewijs de stelling van Kronecker.
  • 3) Waar of niet? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld: "Als de ring een domein is, dan is ."

Oefeningen

  • 1) Gegeven is een groep met elementen, met . Toon aan dat
    • a)
    • b) heeft een deelgroep van orde 17.
    • c) heeft een deelgroep van orde 34.
  • 2) Stel dat R een HID is:
    • a) Bewijs dat een priemideaal van R een maximaal ideaal is.
    • b) Zij f een surjectief ringmorfisme van R naar S met S een integriteitsdomein. Bewijs dat ofwel f een isomorfisme is, ofwel S een veld.
    • c) Toon aan dat als de veeltermenring van R een HID is, dat R dan een veld moet zijn.
  • 3) Zij p priem = 1 mod 3, beschouw Fp.
    • a) Toon aan dat er in een element van orde 3 bestaat.
    • b) Besluit dat een wortel heeft in Fp
  • 4)

The usual stuff: een 6x6 matrix die je naar Jordanvorm moet omwerken, je moest ook de minimale veelterm en de matrix van basisverandering kunnen geven.

21 januari 2011

Theorie

  • schriftelijk
    • a) Zij G een groep en H een deelgroep van G van index 2. Toon aan dat H een normaaldeler is van G.
    • b) Zij G een groep, f:G->H een groepsmorfisme en N een normaaldeler van H. Toon aan dat een normaaldeler is van G
  • mondeling
    • Zij R een ring. Toon aan dat de kandidaat-bewerking goed gedefinieerd is als en slechts als I een ideaal is.
  • schriftelijk
    • Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en een element van . Bewijs in detail dat er een unieke bestaat zodat . Duid aan waar je gebruikt dat V eindigdimensionaal is. Je hoeft geen tegenvoorbeeld te geven als V oneindigdimensionaal is.

Oefeningen

  • Oefening 1 :We bewijzen de eerste stelling van Sylow. Dit doen we in verschillende stappen. Doorheen deze oefening is p een priemgetal en G een groep.
    • Stel dat voor een . Toon aan dat er een strikte deelgroep H van G bestaat zodat of dat .
    • (Stelling van Gauss). Toon aan dat als , dat er een element in G bestaat van orde p (Hint: toon dit eerst aan voor een commutatieve groep met de structuurstelling en dan in het algemeen)
    • (Eerste stelling van Sylow)Stel dat en zij k de grootste k waarvoor . Dan heeft G een deelgroep S zodat .
  • Oefening 2:
    • Zij R een ring met eenheidselement en S een deelring zodat S 1 bevat. Beschouw nu de volgende equivalentie. R is een domein S is een domein. Een van deze implicaties is foutief, de andere is juist. Bewijs de juiste implicatie en geef een tegenvoorbeeld voor de foutieve.
    • Zij een algebraïsche velduitbreiding en zij R een ring zodat . Toon aan dat R een veld is.
    • Geldt dit ook indien de uitbreiding niet algebraïsch is?
  • Oefening 3: Zij F een veld en beschouw de veelterm f in F[X] gegeven door . Zij E het ontbindingsveld van f over F. Geef de uitbreidingsgraad van E over F met en
  • oefening 4: vind de Jordanvorm J van de matrix A. Bereken ook de minimale veelterm en de matrix P, zodat .

19 januari 2011

Theorie

  • Schriftelijk
    • a) Formuleer de eerste ismorfismestelling voor groepen.
    • b) Forumuleer en bewijs de parallellogramismorfismestelling voor ringen. Hint: Voor een ring R geeft deze stelling een verband tussen een ideaal I van R, een deelring S van R , en .
  • Mondeling
    • Zij K een veld en G een eindige deelgroep van de multiplicatieve groep . Bewijs in detail dat G cyclisch is.
  • Schriftelijk
    • a)Zij V een eindig dimensionale vectorruimte over een veld K en zij A een nilpotente transformatie van V met index . Zij gegeven met . Bewijs dat lineair onafhankelijk zijn.
    • b) Veronderstel bovendien dat k = dim V. Wat is dan de matrix A ten opzichte van de basis {}?

Oefeningen

  • Toon aan dat geen deelgroep heeft die isomorf is met de quaternionengroep.
  • Stelling van Wedderburn (p 45) aantonen in verschillende stappen. Zij R een eindig lichaam.
    • a) Zij . Definieer de ringcentralisator als . Toon aan dat een deellichaam is van R.
    • b) Definieer ringcentrum Z(R) van R als volgt: voor alle . Stel dat |Z(R)| =q (vermits in R en deze elementen beide behoren tot Z(R) hebben we dat ). Toon aan dat er een zodat en dat voor alle een bestaat zodat .
    • c) Veronderstel dat R geen veld is, i.e. er bestaat een zodat . Leg uit waarom n > 1 en . Toon aan: voor met elke en voor elke k.
    • d) Dan kan men makkelijk aantonen dat (dat hoef je hier niet te doen). Maak hiervan gebruik om aan te tonen dat (in ), waarbij de n-de cyclotome veelterm noteert.
    • e) Uit onderstaande tekening haal je direct dat als en . Maak gebruik van dit resultaatje om een contradictie uit te komen.

AlgebraTekening.jpg

  • Beschouw de ring . Deze ring heeft 4 elementen. Is deze ring isomorf met of met geen van de drie? Leg uit.
  • Zij diagonaliseerbaar met 3 verschillende eigenwaarden en en de bijhorende eigenvectoren en . Beschouw de matrix waarbij .
    • a) Vind de Jordanvorm J van C.
    • b) Vind een matrix P zodat .

Januari 2010 Wiskunde

Examen 13 januari 2010

Tweede zit 02/09/09 Wiskunde/fysica

Theorie

  • Zij , geef en bewijs een formule voor de orde van in termen van zijn disjuncte cykelnotatie.
  • Zij R een ring en D een deelgroep van R,+ Bewijs dat

goed gedefinieerd is als en slechts als D een ideaal is

  • Bewijs ** De orde van een eindig veld is altijd een macht van een priemgetal.
    • Zij p een priemgetal en , dan bestaat er een veld met elementen, nl. het ontbindingsveld van de veelterm ... over

Oefeningen

  • Zij G een groep, en D = { (g,g) | g element van G} deelgroep van G x G. Welke voorwaarde moet je op G opleggen zodat D een normaaldeler is? Stel nu dat D een normaaldeler is, waarmee is GxG / D isomorf?
  • Een ring heet lokaal als de ring slechts 1 maximaal ideaal heeft. **Bewijs de volgende equivalentie: een ring is lokaal als en slechts als de niet-eenheden van de ring een ideaal vormen. **Zijn de volgende ringen lokaal: Z, Z_9, Z_10, Z_11 en Z[x].
  • Zij . Bereken [Q(z) : Q] en geef de minimale veelterm van z over .
  • Zij
 

Bepaal een inverteerbare Jordanmatrix J zodat

Eerste zit 27/01/09, Wiskunde/Fysica

Media:ExamenAlgebraI2009.pdf

Snelheidsvraagje bij mij (Christophe): Geef alle idealen van Z. Z is een HID, is (4,7) dan ook een hoofdideaal? Wat is de priemdeelring van Z? Wat is de doorsnede van alle deelringen van Z? Wat zijn de maximale idealen in Z?

Eerste zit 21/01/09, Wiskunde

Theorie

  • Bewijs de Stelling van Cayley: Elke groep is isomorf met een permutatiegroep
  • Zij R een commutatieve ring met eenheidselement en I een ideaal van R. Bewijs: R/I is een veld asa I is maximaal. (Volledig Schriftelijk)
  • Gegeven: Een veld K heeft een algebraïsche uitbreiding K1 zodat elke niet constante veelterm in K[X] een wortel heeft in K. Bewijs: Elk veld heeft een algebraïsche sluiting.

Oefeningen

  • x en y zijn voortbrengers van de groep G. x^8 = y^2 = yxyx^3 = 1
    • Toon aan dat elk element van G van de vorm x^i y^j is. Toon aan dat elk element maximaal orde 16 heeft.
    • Zij |G|=16. Bepaal de orde van xy. Bepaal het centrum van G. Toon aan dat G oplosbaar is.
    • Toon aan dat elke groep van orde 4 dezelfde vorm als G heeft. Geldt ook voor elke groep van orde 8?
  • Waar of vals, geef voldoende uitleg:
    • Zij R = IR^(2x2)(Dus reele matrices). Voor elke f,g uit R[X] geldt deg(f*g) = deg(f) + deg(g)
    • Zij R de directe som van S en T. Als R een eenheidselement heeft, hebben S en T ook een eenheidselement.
    • Hoeveel monische irreducibele veeltermen van graad 3 heeft Z_3[X].
    • Toon aan dat f(X) = X^2 + 2X + 1 irreducibel is. Wat is de orde van F = Z_3[X]/(f)?
    • Zij O = {ord(g)|g element van F^x}. Geef voor elke n element van O een element g uit F met deze orde.
    • Voor welke n bestaat er een matrix uit C^(n x n) zodat de minimale veelterm (x-1)(x-2)^2(x-3)^3
    • Zij A een nilpotente matrix van C^(6*6). Zij dim(ker(A^2))= 4. Geef alle mogelijke invariante systemen van A.

Eerste zit 28/01/08, Wiskunde

Theorie

  • Formuleer en bewijs de tweede isomorfismestelling. (als je wou kon je de formulering van de stelling kopen voor 0,5 punten. Ze later aan andere mensen doorverkopen voor 0.25 punten was dan weer niet toegestaan.) - deze vraag was enkel schriftelijk, werd dus niet mondeling behandeld.
  • Bewijs:
    • Het aantal elementen van een eindig veld is van de vorm .
    • Er bestaat een veld met elementen, namelijk een ontbindingsveld van ... over .
  • Bewijs dat diagonaliseerbaar zijn equivalent is met een minimale veelterm die volledig ontbindbaar is in onderling verschillende lineaire termen.
  • Snelheidsvraagje: Waar of niet waar? Bespreek beide pijlen van de equivalentie.
"Zij R een ring met 1:
u en v hebben een inverse a.s.a. uv heeft een inverse"
En wat als de ring commutatief is?

Oefeningen

  • Bewijs de stelling van Cauchy m.b.v. volledige inductie. (Zij G een groep met orde n, een veelvoud van een priemgetal p. Dan bestaat er een element in G dat orde p heeft. We bewijzen het met volledige inductie op
    • Bewijs de basistap,
    • Dan plaatste hij de inductiehypothese (geldt voor alle velden met kleinere ) En vertelde hij dat we het uit het ongerijmde gingen bewijzen (veronderstel dat G geen element van orde p heeft). Ook plaatste hij hier dat we wisten dat G geen commutatieve groep was (uit de oefenzittingen).
    • Bewijs dat het aantal elementen van een niet triviale conjugatieklasse een veelvoud is van p
    • Bewijs dat het aantal elementen van Z(G) een veelvoud is van p
    • Beëindig je bewijs met een contradictie
  • Zij
    • Is een eenheid?
    • Is een maximale ideaal?
    • Bewijs dat R isomorf is met . Hint: je mag hierbij veronderstellen dat elke te schrijven is als met een eindig gebied.
    • Bepaal het breukenveld van R. (indien je c niet gemaakt had mocht je deze natuurlijk wel doen en c hierbij gebruiken)
  • Zij
    • bewijs dat f irreducibel is over
    • geef een ontbindingsveld over
    • bereken (Deze laatste van de drie vraagjes was beduidend belangrijker dan de andere 2, en dit werd er ook bij gezegd)
  • Een jordanvorm (6*6) (zonder parameters) Hierbij waren 4 verschillende hogere machten (vb gegeven, waarvan er "minstens 1" nuttig was.

Eerste zit 2007-2008 Fysica, 15/01/2008

Theorie

  • Factorisatiestelling (schriftelijk)
  • Zij V een complexe vectorruimte en A een lineaire transformatie van V, op deze vectorruimte rust het hermitisch inprduct
    • gegeven: de decompositiestelling en een nuttig resultaat over minimale veeltermen en normale afbeeldingen A
    • Bewijs: A is normaal asa. Er een orthogonale basis van eigenvectoren van A bestaat
  • Stelling van Bezout in een HID
  • Snelheidsvraagjes: , geef de grootste gemene deler van X en Y (ben het tweede vraagje vergeten vrees ik)
  • Ander snelheidsvraagje: Zij F(q) een eindig veld met q elementen. Bekijk dan de additieve en multiplicatieve groepen F(q),+ en UF(q),. Welke zijn dan cyclisch?

Oefeningen

1

  • Bewijs of geef een tegenvoorbeeld: Er bestaat geen groep van orde 8 met maar één element van orde 4
  • Zij G een niet cyclische groep van orde 8 met precies twee elementen van orde 4, toon aan dat G isomorf is met

2

Waar of niet waar?(argumenten)

  • is een goed gedefinieerd ringmorfisme
  • is een veld

3

Bereken

4

Een jordanvorm

Tweede zit 2006-07, 30-08-07

Theorievragen

  • Morfismestelling van groepen bewijzen (schriftelijk)
  • Stelling van Kronecker
  • A** = A
  • Snelheidsvraagje: geef alle idealen van . en de priemidealen? en de maximale idealen?

Oefeningen

  • een groep G, normaaldeler N en een deelgroep M die N omvat.
    • Bewijs dat: als dan
    • als nu geldt dan dat ?? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld
  • Een ring heeft een priemideaal en twee idealen en .

Bewijs dat als dat dan of

  • is de derde eenheidswortel en is de wortel van .
    • a) Wat is de relatie tussen de velden en .
    • b) Bereken
  • Ne jordanvorm...

Eerste zit 2006-07, Fysica, 30-01-2007

Theorievragen

  1. Zij een eindige groep en . Definieer en . Bewijs dat .
    1. Bijvraagje: Is een deelgroep? en ? Wat als niet eindig is?
  2. Bewijs dat het aantal elementen van een eindig veld steeds ...(aanvullen en bewijzen)
  3. Zij een -vectorruimte en een lineaire afbeelding.
    • Gegeven: We weten hoe decompositie van over ineen zit.
    • Bewijs: is diagonaliseerbaar asa de minimale veelterm van ...(vul aan en bewijs)
  4. Snelheidsvraagje:
    • Welke inclusies gelden er tussen , , en ?
    • Wat is

Oefeningen

    1. Toon aan dat met de gewone matrixvermenigvuldiging een groep is.
    2. Toon aan dat een normaaldeler is van
    3. Met welke 'bekende' groep is isomorf?
  1. Beschouw de ring .
    1. Geef een ideaal dat geen priemideaal is, en leg uit waarom.
    2. Geef een maximaal ideaal en toon dat aan.
    1. Toon aan dat door het probleem te herleiden tot de oplosbaarheid van een stelsel in . (Hint: Een stelsel moet niet lineair zijn.)
    2. Wat is ?
    3. Geef een basis van over
  2. Stel
    Zoek een inverteerbare matrix P en een Jordanmatrix J zodat .

Eerste zit 2006-07, Wiskunde, 15-01-2007

Theorievragen

  1. Zij . Geef en bewijs de formule voor de orde van in in termen van de disjuncte cykelschrijfwijze van .
    1. Bijvraagje: wat is de grootst mogelijke orde van een element in ?
  2. Zij R een HID en met en x geen eenheid. Bewijs dat x te schrijven is als een product van irreducibele elementen.
    Hints:
    • Een contradictie.
    • Een stijgende keten van idealen kan nuttig zijn.
  3. Zij een velduitbreiding en algebraïsch over K.
    1. Bewijs dat a+b algebraïsch is over K.
    2. Waar of niet? Zij transcendent over K, dan is c+d transcendent over K.
  4. Snelheidsvraagje: geef de maximale idealen in .

Oefeningen

  1. Definitie: Zij G,* een groep en zij H een deelgroep van G. Het aantal linkse nevenklassen van H in G noemen we de index van H in G. De index van H in G is dus een van 0 verschillend natuurlijk getal of oneindig.
    1. Zij G,* een groep. Zij H een deelgroep in G met eindige index in G en zij . Toon aan dat de deelgroep ook eindige index heeft in G.
    2. Zij G,* een groep en D de doorsnede van alle deelgroepen van G met eindige index in G. Toon aan dat D een normaaldeler is van G. Waarom is dit triviaal als G een eindige groep is?
    3. Geef een voorbeeld van een oneindige groep G,* waarvoor de doorsnede is van alle deelgroepen van eindige index in G.
  2. Zij R,+,. een ring en zij I het ideaal voortgebracht door . Zij J een ideaal van R. Toon aan dat R/J commutatief is als en slechts als .
  3. Zij de primitieve derde eenheidswortel in .
    1. Bepaal de relaties tussen de velden , en .
    2. Bereken de uitbreidingsgraad .
    3. Bepaal een minimale veelterm van over .
  4. Stel
    Zoek een inverteerbare matrix P en een Jordanmatrix J zodat .

Eerste zit 2005-06, Wiskunde

Theorievragen

  1. Zij G een groep en zij N een normaaldeler van G. Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen de normaaldelers van G die N omvatten en de normaaldelers van G/N. Je mag hierbij het enkel feit gebruiken dat het beeld en het inverse beeld van een deelgroep onder een groepsmorfisme weer een deelgroep is. Al de rest moet bewezen worden.
  2. Veronderstel dat R een hoofdideaaldomein is, en zij r een irreducibel element in R. Bewijs dat (r) dan een maximaal ideaal van R is. Geef ook een voorbeeld van een ring R, commutatief en met eenheidselement, en een irreducibel element r in R, zodat (r) geen maximaal ideaal van R is.
  3. Bewijs de stelling van Kronecker: "Zij K een veld en zij f een niet-constante veelterm in K[X], dan heeft f een wortel in een velduitbreiding van K."

Snelheidsvragen

(Dit zijn de verraderlijke vraagjes die Veys op het mondeling examen stelt en die je *niet* mag voorbereiden, je krijgt er ongeveer 1 minuut tijd voor. Vaak zit er een addertje onder het gras. Wees dus niet te "snel".)

  • Bestaat er een algebraïsch gesloten veld dat strikt omvat?
  • Waar of fout? "Een groep is eindig als en slechts als alle elementen eindige orde hebben."

Oefeningen

  1. Zij G een groep met precies twee niet-triviale deelgroepen.
    1. Bewijs dat G cyclisch is.
    2. Bewijs dat de orde van G van de vorm p³ of pq is, voor zekere priemgetallen p en q.
  2. Met welke "bekende" ring is isomorf? Bewijs je antwoord.
  3. Zijn velden. De Galoisgroep Gal(E, F) van E en F wordt gedefinieerd als de groep van alle veldautomorfismen (met andere woorden, ringautomorfismen van E waarvoor geldt dat ) die voldoen aan , voor alle f in F. (Hierbij is de groepsbewerking samenstelling van afbeeldingen.) Toon aan dat .
    1. Kies een voorstelling van als , met een irreducibele veelterm van graad 3. Bepaal een basis van als -vectorruimte. Toon aan dat het Frobeniusmorfisme een lineaire transformatie van is, bepaal de matrix van ten opzichte van de gekozen basis, en bepaal de minimale veelterm van .
    2. Zij p een priemgetal, en zij r een natuurlijk getal verschillend van 0. Laat zien dat het Frobenius-morfisme een lineaire transformatie is van als vectorruimte over . Zoek de minimale veelterm van en bewijs je vermoeden.

Eerste zit 2005-06, Fysica

Theorievragen

  1. Zij G een groep, zij K een deelgroep van G en zij N een normaaldeler van G. Bewijs: .
  2. Zij een ring. Bewijs dat de bewerking op R/N, gegeven door , goed gedefinieerd is als en slechts als N een ideaal is van R.
  3. Bewijs dat "algebraïsch zijn van velduitbreidingen" transitief is. Is "transcendent zijn" dat ook?

Oefeningen

    1. Zij H een deelgroep van . Toon aan dat H een normaaldeler is als en slechts als voor elke in H geldt dat alle elementen van met dezelfde disjuncte cykel-schrijfwijze ook tot H behoren.
    2. Bewijs nu dat een unieke deelgroep van orde 12 heeft.
  1. Zij een ring en definieer het centrum van R als . We hebben in de oefenzittingen gezien dat Z(R) een deelring is van R.
    1. Toon aan dat Z(R) geen ideaal van R moet zijn.
    2. Het quotiënt R/Z(R) hoeft dus geen ringstructuur te hebben, maar in ieder geval wel een additieve groepsstructuur. Bewijs: als R/Z(R) een additieve cylische groep is, dan is R commutatief.
  2. Definieer als het aantal monische irreducibele polynomen van graad r over . Bewijs de volgende recursieformule:
    1. Zij een lineaire afbeelding met karakteristieke veelterm , en stel dat . Toon aan dat er een basis van bestaat zodat de matrix van A ten opzichte van die basis van de volgende vorm is:
    2. Zij B de volgende 4 x 4 - matrix over de complexe getallen:
      Bepaal de Jordanvorm J van B en vind een matrix P zodat .


Eerste zit 2003-2004, Wiskunde

De theorievragen zijn verloren gegaan.

Oefeningen

  1. Zij een groep en zij A een normaaldeler van G. Stel dat A commutatief is.
    1. Toon aan dat een goed gedefinieerde groepsactie is van op .
    2. Bepaal en voor elke .
  2. Zij een veld en beschouw de ring zoals gedefinieerd in de oefeningenbundel. Herinner u dat de eenheden in deze ring de formele machtreeksen zijn waarvan de constante term verschillend is van 0. Beschouw de volgende uitspraken:
    • Het element is, op een eenheid na, het enige irreducibele element in deze ring.
    • De ring is een UFD.
    • De ring is een HID.
    Welke uitspraken zijn juist, welke zijn fout? Bewijs je antwoorden.
  3. Zijn velden zodat en . Noteer met het kleinste deelveld van dat en omvat. Stel dat eindig is.
    1. Toon aan dat .
    2. Stel dat en . Bewijs dat gelijkheid optreedt in a).
    3. Stel dat en . Bewijs dat gelijkheid optreedt in a).
  4. Beschouw de volgende matrix over (met een parameter):
    Wat zijn de mogelijke Jordanvormen van over ?

Tweede zit 2004-2005, Wiskunde

De theorievragen zijn verloren gegaan.

Oefeningen

  1. Zij een groep en zijn normaaldelers van met . Stel dat cyclisch is en dat .
    Toon aan dat commutatief is.
  2. Beoordeel de volgende redenering: is de redenering juist? Is de redenering fout? Waarom?
    "Zij een ring met . Omdat een groep is voor de optelling en , bestaat er een invers element van . Omdat , is een eenheid. Bijgevolg is ."
  3. Een ring is Artins als elke dalende keten van idealen stabiliseert (met andere woorden, als voor een zeker natuurlijk getal ).
    1. Toon aan dat geen Artinse ring is.
    2. Bewijs nu dat de quotiëntring wel een Artinse ring is.
  4. Zij een veld met en . Bewijs dat voor een zekere .
  5. Stel dat de matrix van een lineaire afbeelding ten opzichte van een goede basis de volgende Jordanmatrix is: . We kunnen natuurlijk ook als 6-dimensionale reële vectorruimte bekijken. Welke basis van kan je kiezen zodat ten opzichte van die basis in zijn Jordanvorm staat, en wat is die Jordanvorm?

Eerste zit 2004-2005, Fysica

(In 2004-2005 moesten de studenten Fysica de leerstof over velden niet kennen.)

Theorie

  1. Zij een commutatieve ring met een eenheidselement en zij een ideaal van . Bewijs dat een veld is als en slechts als een maximaal ideaal is.
  2. Zij een complexe vectorruimte. Bewijs dat een lineaire transformatie van normaal is als en slechts als een orthonormale basis van eigenvectoren van heeft. Je mag gebruiken dat de minimale veelterm van een normale transformatie splitst in lineaire factoren.
  3. Zij een groep en zij een normaaldeler. Bewijs dat de afbeelding goed gedefinieerd is.

Oefeningen

    1. Bewijs dat er slechts één groepsmorfisme bestaat.
    2. Bewijs dat er oneindig veel groepsmorfismen bestaan.
  1. Bewijs dat het aantal verschillende complexe -Jordanmatrices met slechts één eigenwaarde gelijk is aan het aantal conjugatieklassen van .
  2. Een Euclidisch domein is een integriteitsdomein , samen met een afbeelding die voldoet aan
    • voor alle (verschillend van 0) volgt uit dat , en
    • voor alle (met verschillend van 0) bestaan er zodat , met of .
    Neem bijvoorbeeld met .
    1. Zoek een ander voorbeeld van een Euclidisch domein.
    2. Bewijs dat een Euclidisch domein een hoofdideaaldomein is.
    3. Bewijs dat .
  3. Zij een nilpotente lineaire afbeelding met . Bepaal de mogelijke waarden voor en illustreer telkens met een voorbeeld.